Simulazioni accoppiate: la differenza tra le metodologie di accoppiamento

Il primo passo per meglio scegliere le strategie di soluzione per simulazioni ingegneristiche accoppiate (ed esempio fluido struttura) è capire la differenza tra le differenti strategie di accoppiamento.

di Franco Concli

In particolare, andremo a parlare di strategie “monolitiche” o “staggered” per quanto riguarda l’integrazione temporale e strategie “partizionate” (con accoppiamento debole o forte) per quanto riguarda l’integrazione spaziale.

Cosa sono le strategie di accoppiamento monolitiche e staggered

Per meglio comprendere le nozioni teoriche, è utile fare riferimento ad un esempio concreto, seppur semplice. Ogni problema accoppiato, come può essere un problema termoelastico, viene rappresentato, matematicamente parlando, da un set di equazioni differenziali alle derivate parziali nello spazio e nel tempo. Ad esempio, il comportamento di un fluido può essere descritto da una equazione di conservazione della massa (continuità), una equazione di conservazione della quantità di moto e una di conservazione dell’energia. Mediante l’utilizzo di una tecnica numerica come il metodo agli elementi finiti (FEM), il sistema di equazioni differenziali a derivate parziali può essere ridotto ad un set di equazioni differenziali ordinarie risolvibile mediante integrazione nel tempo.

Le principali differenze

A questo punto entrano in gioco le strategie “monolitiche” o “staggered”. La differenza principale tra queste due classi di integrazione è da individuarsi nel modo in cui il set di equazioni differenziali ordinarie che rappresentano il nostro problema viene risolto.

Negli approcci “monolitici”, come dice il termine stesso, tutte le equazioni vengono risolte in un unico step mediante la stessa strategia. Negli approcci “staggered”, invece, le equazioni differenziali sono risolte individualmente in ordine sequenziale.

Esistono poi gli approcci che permettono una integrazione spaziale. Queste tecniche di soluzione sono utili, ad esempio, nel caso di problemi accoppiati fluido-struttura. In questo caso, i domini spaziali corrispondenti all’area occupata dal fluido e dal solido vengono rappresentati da modelli (equazioni) differenti e interagiscono tra loro solo all’interfaccia. Di fatto la soluzione numerica di questo tipo di problemi prevede la soluzione indipendente dei sottodomini (e.g. il fluido ed il solido) che poi vengono messi in comunicazione tra loro mediante l’imposizione di vincoli all’interfaccia. A titolo di esempio di pensi ad un corpo elastico immerso in un fluido. Quest’ultimo porterà alla nascita di forze fluidodinamiche sulle facce esterne del corpo elastico. Queste sono un input per il solutore strutturale che permetterà di determinare la deformazione elastica del corpo. A questo punto, la deformata del corpo, alias gli sposamenti dei suoi boundary, sarà un input per il solutore fluidodinamico. La variazione della forma del corpo solido, infatti, porterà ad una variazione del flusso e, di conseguenza, ad una modifica delle spinte fluidodinamiche su di esso.

Vediamo ora nel dettaglio i vari approcci con degli esempi molto semplici.

Approccio monolitico per l’integrazione temporale

Per meglio capire l’approccio “monolitico” per l’integrazione spaziale, si consideri un semplice sistema dinamico masse-molle (m-k) soggetto a forzanti esterne (b) (Figura 1).

Figura 1: Sistema massa-molla.

Matematicamente il sistema può essere descritto come (dove u è lo spostamento delle varie masse):

Dopo un opportuno cambio di variabile per ridurre l’ordine del sistema da secondo a primo è possibile riscrivere:

Il vettore ovvero la soluzione del sistema in termini di spostamenti e velocità, richiede la soluzione contemporanea di tutte le equazioni (ad esempio utilizzando Eulero implicito) portando a:

Questo approccio è detto monolitico.

Approccio “staggered” per l’integrazione temporale

In alternativa all’approccio monolitico, per l’integrazione temporale è possibile seguire un approccio “staggered”. Analizziamo lo stesso sistema masse-molle (Figura 1). Scritto in forma non-matriciale, il set di equazioni differenziali ordinarie che descrivono il sistema risulta:

Queste sono risolvibili numericamente nuovamente con Eulero-implicito risultando in:

L’idea per la risoluzione non monolitica è quella di fare delle assunzioni per i valori di in modo da poter risolvere, per un dato istante di tempo, l’equazione per . Risolta questa, si passa alla risoluzione di per cui è necessaria solo una ipotesi su . Risolte tutte e tre le equazioni , si riparte in modo iterativo dalla prima finché il criterio di convergenza scelto non risulta rispettato e poi di passa all’istante temporale successivo .

Approccio “partizionato” per la discretizzazione spaziale

Una alternativa completamente differente per la soluzione dello stesso problema può essere rappresentata dagli approcci “partizionati”. Questi prevedono la suddivisione del sistema in domini spaziali separati che vengono risolti separatamente e poi messi in comunicazione, mediante l’imposizione di opportuni vincoli, all’interfaccia. Sempre con riferimento al sistema a tre masse visto sopra, si immagini di dividerlo come da figura 2. La massa m2 viene divisa in due e vengono introdotte delle nuove coordinate .

Figura 2: sistema masse-molle

All’interfaccia, può essere applicata la terza legge di Newton con la nascita di due forze uguali ed opposte . È quindi possibile scrivere due equazioni in forma matriciale, per i due sottodomini.

All’interfaccia, oltre alla condizione di equilibrio delle forze, sarà possibile imporre la compatibilità cinematica per cui

permettendo così la risoluzione del sistema.

Il mappaggio

Il fatto che i due sottodomini si scambino informazioni a livello di interfaccia implica spesso la necessità di mappaggio dei dati. Il mappaggio serve a passare un campo (e.g. pressioni) calcolato su una griglia computazionale (e.g. dominio fluido) ad una griglia differente (e.g. dominio solido). In alcuni casi, anche utilizzando mesh conformi all’interfaccia il mappaggio si rende comunque necessario. Il caso tipico è rappresentato dalle simulazioni fluido struttura in cui solitamente il campo fluido viene risolto mediante approccio ai volumi finiti (i valori di campo sono quindi noti solo a centro cella), mentre il dominio solido viene risolto mediante analisi agli elementi finiti (e quindi sono richiesti i valori ai nodi).

Figura 3: mappaggio conservativo

Il mappaggio è un aspetto fondamentale della co-simulazione che necessariamente introduce degli errori numerici. Tra i vari tipi di mappaggio è possibile distinguere in primis tra mappaggio conservativo e mappaggio consistente. Nel primo caso, ad esempio, i valori nodali della griglia più fitta vengono aggregati tra loro (sommati) e mappati sulla griglia più lasca (o vice-versa). In questo modo si garantisce la conservazione del valore complessivo del campo mappato (ad esempio una forza). Il mappaggio consistente, invece, prevede che a ogni nodo della griglia venga assegnato il valore posseduto dal nodo più prossimo appartenente alla seconda griglia. Questo tipo di mappaggio viene tipicamente utilizzato nel caso di campi con quantità intensive come la temperatura.

Figura 4: mappaggio consistente

Schemi numerici

Ultimo aspetto da trattare è relativo agli schemi numerici. In particolare, è importante differenziare tra schemi impliciti e schemi espliciti. La principale differenza è da individuarsi nel numero di iterazioni di calcolo. Negli schemi espliciti, il passaggio di dati tra i domini avviene una sola volta per ogni istante temporale e, quindi, il calcolo avanza allo step successivo. Negli schemi impliciti, invece, a valle dello scambio di dati viene fatto un check sulla convergenza e, qualora i residui fossero troppo grandi, si procede con una ulteriore iterazione di calcolo. Questo ultimo approccio risulta pertanto molto più accurato ma anche molto più oneroso dal punto di vista computazionale.

Vi sono però anche delle possibilità alternative. Nello specifico il sotto-rilassamento. Questa è una tecnica di stabilizzazione per cui i dati letti da una mesh non sono passati direttamente all’altra mesh ma opportunamente modificati; tipicamente vengono utilizzate combinazioni lineari dei risultati di più iterazioni precedenti e non solo dell’ultimo step. Tra i metodi di sotto-rilassamento principali è possibile individuare il metodo a sotto-rilassamento costante (ottimale, ad esempio, per simulazioni fluido-struttura ad alto numero di Reynolds con Rf=0.5) o il metodo di Aitken in cui il fattore di sotto-rilassamento (Rf) viene adattato in modo automatico sulla base dei residui dell’ultima iterazione.

Figura 5: FSI: comparison between different coupling schemes

Conclusioni

Padroneggiare le tecniche di accoppiamento di fisiche ed eventualmente software differenti è la base per delle simulazioni ingegneristiche complesse ed accurate. Se anche voi siete interessati ad acquisire il know-how e portare in-house tutte le nozioni necessarie assieme a software opensource gratuiti, non esitare a contattarci.