La modellazione del contatto mediante elementi finiti

I contatti sono un aspetto cruciale e molto diffuso nell’ambito della progettazione meccanica. Quando si ha a che fare con un insieme composto da diversi componenti, come nella maggior parte dei sistemi meccanici, questi interagiscono tra loro, scambiandosi forze attraverso le superfici di contatto.

di Franco Concli

Introduzione ai contatti

Il contatto rappresenta quindi la realtà quotidiana per quasi tutti i progettisti meccanici e gli analisti strutturali. In particolare, quando si parla di meccanica del contatto bisogna anche considerare gli aspetti tribologici come la presenza di attrito. Le forze risultanti dalle interazioni tra solidi possono essere decomposte in componenti normali alla superficie di contatto – che possono essere di compressione o adesione – e in componenti tangenziali dovute di fatto all’attrito.

Esaminando le diverse scale con cui è possibile affrontare il problema della modellazione dei contatti, risulta evidente come per il progettista meccanico sia fondamentale concentrarsi su quella branca della fisica che si occupa dello studio del contatto su scala intermedia. Limitarsi ad un approccio macroscopico non fornirebbe sufficienti informazioni per una progettazione di dettaglio. Viceversa, scendere ad una scala troppo piccola (meso o addirittura atomistica/Ab Initio), sebbene utile per una migliore comprensione dei fenomeni fisici di base, non risulterebbe applicabile a sistemi reali a causa di una complessità di calcolo ad oggi ingestibile.

La modellazione della scala intermedia implica la determinazione dello stato di sollecitazione, degli allungamenti e delle deformazioni di un sistema di corpi che interagiscono tra loro. Di conseguenza, le formulazioni matematiche della meccanica del contatto con attrito possono essere implementate all’interno di un solutore ad elementi finiti (FEM) in modo da riuscire ad avere una soluzione discreta (per punti) delle grandezze fisiche tipiche del contatto.

Non-linearità del contatto

I contatti tribologici tra corpi, va notato, hanno una natura unilaterale. Il che significa che il contatto non si comporta allo stesso modo nelle varie direzioni. Ad esempio, quando le forze applicate spingono le parti l’una contro l’altra, si generano forze di compressione (a causa della resistenza dei corpi elastici alla compenetrazione). Tuttavia, se si inverte la direzione delle forze applicate (cercando di allontanarli), i corpi possono separarsi liberamente senza generare resistenza alcuna. Questa non proporzionalità tra carico e deformazione, conferisce al contatto l’etichetta di fenomeno non lineare (sebbene magari entrambi i corpi abbiano materiali dal comportamento lineare e geometrie delle superfici a contatto anch’esse lineari). Un altro esempio di non linearità del contatto è da individuarsi nell’attrito radente.

Modellazione del contatto mediante elementi finiti

Per quanto riguarda gli strumenti messi a disposizione dai solutori FEM per modellare il contatto, essi possono essere differenti a seconda del software. Tuttavia, tra le diverse strategie per mettere in relazione due corpi mediante l’accoppiamento di due superfici, si possono avere approcci senza alcun elemento di contatto (e.g. incollaggio tra parti con mesh incongruenti), modellazione lineare del contatto (approssimazione) e modellazione non lineare del contatto. Ognuno di questi approcci ha i suoi vantaggi e svantaggi, ma la scelta dipende dalle specifiche esigenze del problema da studiare. L’incollaggio, per sua natura, implica una relazione bilaterale, mentre il contatto è sempre unilaterale, il che può influenzare significativamente i risultati dell’analisi.

Le considerazioni sulla modellazione delle interazioni tra solidi sottolineano l’importanza di scegliere l’approccio più appropriato in base alle specifiche del problema. Il contatto linearizzato è una forma semplificata di quello non-lineare basato sull’ipotesi di piccole deformazioni e materiale lineare. Sebbene un approccio di questo tipo semplifichi notevolmente la soluzione numerica e riduca di conseguenza il tempo di calcolo, va detto come solo un approccio non lineare offra la massima precisione e consenta di tenere in considerazione fenomeni complessi quali la plasticizzazione locale delle superfici e i grandi spostamenti.

Le differenze tra il contatto lineare e non lineare sono dunque non trascurabili. Mentre il primo identifica l’impronta delle superfici a contatto e parte da una condizione di contatto iniziale tra le parti, l’approccio non lineare è una procedura più complessa che tiene conto anche dell’eventuale distacco e dello scorrimento relativo delle parti.

Tecniche di modellazione del contatto non lineare

Prima di introdurre le varie tecniche di modellazione del contatto, è utile ricordare che gli obiettivi dell’analisi del contatto sono:

  1. Verificare se due o più corpi sono in contatto;
  2. Individuare la posizione o la regione di contatto;
  3. Misurare la forza di contatto o pressione all’interfaccia;
  4. Determinare se ci sia un moto relativo dopo il contatto nell’interfaccia.

Un esempio applicativo

A titolo di esempio si consideri una semplice trave incastrata soggetta ad un carico distribuito q (ad esempio dovuto al peso proprio), dalle seguenti caratteristiche:

Sotto l’effetto della gravità, l’estremità non incastrata della trave tenderà a deflettersi verso il basso.

La sua deflessione può essere calcolata mediante la seguente formula tabellata, risultando in 0.00125m.

In presenza in un ostacolo che ne limiti la deflessione posto a distanza δ = 1mm, è chiaro che la trave tenderà ad entrare in contatto con il supporto e scaricare parte del carico mediante il contatto. È possibile determinare il valore della forza di reazione nel contatto mediante la formula per il calcolo della freccia per una trave caricata in punta da una forza λ (opposta a q).

Il valore della forza può essere determinato imponendo che VN (L) + VC (L) siauguale a δ. Da qui è possibile determinare:

Nel caso di implementazione in un software agli elementi finiti, sia la forza che il gioco g sono incogniti. È però possibile formulare il problema nel seguente modo:

Quando λ = 0 in contatto non ha luogo. Il contatto avviene quando λ > 0. La condizione di gioco risulta g=Vapiceδ < 0

Questo problema può essere risolto in vari modi. Le tecniche più comuni sono quelle basata sul “penalty method” e sul “Lagrangian multiplier”.

Moltiplicatore Lagrangiano

La tecnica basata sul moltiplicatore Lagrangiano – una strategia matematica per trovare i massimi ed i minimi di una funzione soggetta a vincoli – parte dalle seguenti condizioni: non deve esserci compenetrazione (g<0); la forza di contatto deve essere positiva (λ > 0) e che sia soddisfatta la condizione di consistenza (λg = 0).

Il moltiplicatore Lagrangiano può essere scritto come. Quando λ = 0N ⇨ g = 0.00125 >  0   e la condizione di contatto risulta vincolata. Pertanto, la soluzione ammissibile risulta. λ = 75N ⇨ g = 0, risultato che soddisfa la condizione di contatto.

Metodo della penalizzazione

Questo approccio prevede la definizione della funzione penetrazione:

Questa risulta essere 0 quando g<0 (nessun contatto) e pari a  quando g<0. La forza di contatto è definita come:

in cui KN è in parametro di penalizzazione (una sorta di rigidezza).

Per in g=Vapice – δ < 0   la penetrazione g risulta:

La Tabella 1 mostra il valore della forza di contatto per differenti valori di penalizzazione.

KN-g [m]λ [N]
3 1051.25 10-437.50
3 1072.48 10-668.18
3 1092.50 10-875.00
Tabella 1: valori della forza di contatto in funzione del parametro di penalizzazione

Effetto dell’attrito

Proviamo ora a complicare un po’ l’esempio precedente pensando di applicare, a valle del carico q anche un carico assiale P=100N In presenza di un coefficiente di attrito µ = 0.5, nel contatto si genererà anche una forza tangenziale che in parte limiterà l’allungamento della trave.

Analogamente a quanto fatto per determinare la forza di contatto mediante le formule della deflessione, anche l’allungamento di una trave soggetta ad una forza assiale può essere determinato secondo la teoria di De Saint Venant risultando in:

In presenza di attrito, bisogna verificare se la forza tangenziale t sia minore o maggiore del massimo carico µλ.

In caso si avrà adesione, in caso contrario

vi sarà slittamento.

Ipotizzando di essere nel primo caso (adesione) è facile osservare come la forza t=100N violi la condizione stessa di adesione. Pertanto, vi sarà slittamento: lo spostamento assiale dell’apice sarà dato dalla differenza tra la forza P e la forza t divise per la rigidezza assiale (EA)/L.

Moltiplicatore Lagrangiano

Nel caso di modellazione agli elementi finiti, invece che seguire un approccio trial & error, si impiegano nuovamente il moltiplicatore Lagrangiano o la penalizzazione. Nel primo caso risulta:

Quando viola la condizione di adesione.

Pertanto, .

Metodo della penalizzazione

Analogamente, utilizzando un approccio basato sul penalty method, è possibile definire . Lo spostamento può essere calcolato come cui KT è il parametro di penalità per lo slip.

Nuovamente, quando non vi è penalizzazione mentre quanto si ha penalizzazione.

La forza risulta essere funzione di KT.

KNUtip [m]t [N]
1 10-45.68 10-443.18
1 10-26.24 10-637.56
1 1006.25 10-837.50
Tabella 2: valori della forza di attrito in funzione del parametro di penalizzazione

Ricerca del punto di contatto

Un altro problema aggiuntivo che si ha nel caso di modellazione dei contatti mediante elementi finiti è l’’individuazione dei noti che entreranno a contatto e la distanza tra le superfici.

Senza entrare nei dettagli dei passaggi matematici di come questo viene fatto, basti sapere che è sempre possibile calcolare la distanza di un nodo appartenente alla superficie di uno dei due corpi (identificata come “slave”) rispetto alla superfice “master” del secondo corpo. In linea con quanto detto sopra, la condizione di contatto può essere descritta come segue: “la superficie slave non può penetrare nel corpo master”. Ciò fa si che ogni qualvolta un nodo slave violi la condizione di non-compenetrazione, a tale nodo venga applicata una forza di contatto in modo da spostarlo “al di fuori” del corpo master arrivando, per via iterativa, a rispettare la condizione di non-compenetrazione.

Conclusioni

La condizione di contatto è una non-linearità di b bordo dovuta ad una forza di contatto dalla natura discontinua agente su una regione di contatto non nota. Per la risoluzione del contatto, sia esso con o senza attrito, vengono utilizzati principalmente due metodi: il metodo della penalizzazione o il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il primo permette una piccola penetrazione, ma è facile da implementare e richiede tempi di calcolo non trascurabili. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, invece, può imporre la condizione di contatto con precisione, ma richiede variabili aggiuntive. Numericamente, il calcolo viene fatto sulla base del concetto di superfici master-slave.

Sebbene le difficoltà intrinseche nella risoluzione dei problemi di contatto sia un fattore da non trascurare, i risultati ottenibili sono fondamentali per meglio comprendere lo stato di sollecitazione dei sistemi meccanici ed ottimizzarli.