Le molle a tazza, dette anche molle Belleville, sono molle a disco conico, apparentemente semplici, ma capaci di comportamenti molto complessi. La loro capacità di erogare forze elevate in spazi limitati viene combinata in modo efficiente con la modulazione della curva caratteristica utilizzando la sola geometria. Queste tipologie di molle vengono tipicamente utilizzate in sistemi di frizioni ad alta potenza, valvole di sicurezza industriali, smorzatori di urti.

Fondamenti teorici: il modello di Almen-Laszlo

Il riferimento teorico per la progettazione delle molle a tazza si basa sulla teoria sviluppata da J.O. Almen e A. Laszlo, per quantificare la relazione non lineare tra carico assiale e freccia di compressione del disco conico. La geometria del componente è definita da quattro grandezze primarie: il diametro esterno D_e, il diametro interno D_i, lo spessore t e l’altezza del cono a vuoto h₀. Da queste si ricava il rapporto adimensionale

cruciale per il calcolo delle costanti di rigidezza. L’equazione caratteristica che lega la forza F alla freccia s è:

dove E è il modulo di Young, μ il coefficiente di Poisson e K₁ una costante adimensionale geometrica:

La non linearità della risposta è interamente governata dal rapporto:

e variando questo parametro il progettista può ottenere caratteristiche elastiche profondamente diverse. Per valori inferiore a 0,4 la risposta è approssimativamente lineare, simile a una molla elicoidale tradizionale. Al valore critico:

la curva presenta un plateau a rigidezza quasi nulla e la forza rimane costante al variare della deformazione, condizione ottimale per compensare l’usura progressiva nelle frizioni o per garantire la stabilità del precarico nei sistemi di sicurezza. Con valori superiore a √2 si entra in una zona a caratteristica decrescente, sfruttato in valvole di massima pressione ad intervento a gradino e in meccanismi di scatto rapido. La distribuzione delle tensioni nel disco conico è tutt’altro che uniforme e i gradienti più importanti si concentrano sui bordi interni. La teoria di Almen-Laszlo individua come preponderanti le tensioni tangenziali rispetto alle componenti radiali. Le equazioni per i punti critici, bordo interno superiore (punto I) e bordo interno inferiore (punto II), sono rispettivamente:

I coefficienti K₂ e K₃ dipendono dalla geometria del disco:

Il parole semplici, il bordo superiore è prevalentemente in compressione mentre il bordo inferiore, in particolare lo spigolo interno, è sottoposto a trazione. Nelle applicazioni cicliche questa configurazione ha conseguenze importanti, poiché la nucleazione delle cricche avviene sistematicamente nelle zone in trazione, rendendo σ_II parametro di dimensionamento principale.

Un aspetto spesso trascurato riguarda le deformazioni trasversali del disco in compressione. La freccia assiale provoca l’espansione del diametro esterno e la contrazione di quello interno. Le relazioni approssimate per i diametri sotto carico massimo sono:

Queste variazioni devono essere considerate in relazione alle tolleranze di accoppiamento. Ignorarle può causare il blocco del pacco al raggiungimento della freccia critica, con annullamento della spinta elastica. In sistemi fail-safe industriali un simile evento è inaccettabile perché il pacco deve essere progettato per garantire la tenuta in emergenza, altrimenti rischierebbe di perde la propria funzione nel momento esatto in cui dovrebbe esercitarla. Un’ulteriore considerazione sulla geometria, quando il rapporto D_e/t scende sotto  il valore di 16 (configurazione tipica di valvole industriali o ammortizzatori di grande potenza) ci si allontana significativamente dalle ipotesi di flessione pura. La rotazione della sezione trasversale non avviene in modo rigido e il braccio di leva effettivo si riduce sotto carico per via della deformazione locale dei bordi di appoggio. In questi casi occorre introdurre fattori correttivi per la riduzione del momento flettente e l’incremento fittizio dello spessore.

Pacchi molla

Quando la singola molla non è sufficiente per raggiungere i carichi o le corse richieste, si ricorre all’assemblaggio di più dischi in pacco, secondo configurazioni molto diverse per concetto di assemblaggio e comportamento operativo. Nella Configurazione in serie i dischi sono contrapposti base contro base o vertice contro vertice. La corsa totale è la somma delle frecce individuali s_tot=i∙s mentre la portanza rimane quella della singola molla. Il rischio principale è l’instabilità euleriana, per cui il rapporto tra l’altezza libera totale del pacco e il suo diametro esterno non deve superare il valore di 3, soglia oltre la quale si rende necessario un albero di guida interno o una camicia di centraggio esterna. Questi elementi vincolanti introducono forze di reazione radiale che alterano l’equazione di equilibrio e vanno inclusi nel calcolo fin dalle prime fasi di progetto. Per la configurazione in parallelo, invece, i dischi sono orientati concordemente, ciascuno alloggiato nella concavità del successivo. A parità di freccia il carico si moltiplica F_tot=n∙F.

Il modello ideale è però profondamente condizionato dalle forze di attrito che si sviluppano sulle superfici di contatto tra i dischi. Lo strisciamento differenziale dei bordi converte una quota significativa del lavoro meccanico in calore, alterando l’equazione di equilibrio e generando il ciclo di isteresi caratteristico del sistema. Per quantificare il comportamento reale del pacco molla in presenza di attrito, il modello deve includere due fattori di dissipazione: W_M per l’attrito all’interfaccia tra i dischi e W_R si riferisce allo strisciamento sui supporti di guida. Le forze di compressione F_c e di espansione F_e del ciclo di isteresi sono:

In condizioni di lubrificazione limite W_M si stabilizza tra 0,02 e 0,04, W_R tra 0,01 e 0,03. La scelta del lubrificante, che cade tipicamente sulle paste al bisolfuro di molibdeno abbinate a fosfatazione al manganese, influenza direttamente entrambi i valori e va specificata già in fase di progetto. La differenza tra F_c e F_e misura in sostanza la capacità dissipativa del sistema per cui un’isteresi elevata è in grado di attenuare efficacemente le vibrazioni torsionali nei parastrappi, ma nelle applicazioni ad alta frequenza il calore generato per attrito interno degrada rapidamente il velo lubrificante, rischiando di arrivare al grippaggio. Questo limite impone di un massimo di tre o quattro dischi, oltre questa soglia le perdite per attrito prevalgono sul guadagno di portanza.

Infatti, nei sistemi di frenatura pesanti, negli smorzatori per turbine e nelle valvole ad alta pressione, il principale pericolo a lungo termine non è la rottura improvvisa ma il rilassamento delle tensioni. Questo fenomeno di scorrimento viscoso a deformazione imposta converte progressivamente la deformazione elastica in deformazione plastica permanente, riducendo il carico che la molla genera sul sistema. La caduta di precarico segue un fenomeno non lineare modellabile con un’equazione di tipo Arrhenius:

dove T è la temperatura assoluta di esercizio, Q l’energia di attivazione per la mobilità delle dislocazioni nel reticolo cristallino, R la costante universale dei gas e A, B parametri empirici legati alla microstruttura dell’acciaio e all’intensità dello sforzo. Sottostimare il rateo di rilassamento in un pacco preposto al mantenimento di una tenuta meccanica, soprattutto se di sicurezza, può portare a un cedimento progressivo e invisibile, molto pericoloso perché non genera segnali di allarme immediati. La soluzione consiste nel selezione accuratamente il materiale impiegato adottando acciai legati al cromo-vanadio e le superleghe a base nichel, che sono in grado di garantire la stabilità microstrutturale necessaria per contenere il rilassamento entro margini accettabili sull’intera vita utile prevista dal sistema.

Comportamento dinamico

Ne caso in cui i pacchi molla vengano sottoposti a cicli di carico alternati, ad alta frequenza, la massa dei dischi genera forze di inerzia che ostacolano la trasmissione uniforme dello sforzo lungo la colonna, innescando la propagazione di onde elastiche. La frequenza naturale fondamentale del sistema è:

dove K_dyn è la rigidezza dinamica tangente nel punto di lavoro, fortemente condizionata dalla non linearità della molla, e m_eq è la massa equivalente del pacco in movimento. Nelle valvole ad azionamento rapido e negli attuatori di emergenza, il rischio di risonanza tra la frequenza di eccitazione del cinematismo e le armoniche proprie del sistema è un parametro che deve essere considerato durante le prime fasi di progettazione. La sovrapposizione di queste componenti genera picchi di forza del tutto imprevedibili, capaci talvolta di indurre il collasso per frattura fragile nonostante i margini di sicurezza calcolati sui carichi nominali fossero ampiamente rispettati. I cedimenti per fatica nelle molle a tazza hanno origine quasi invariabilmente dalla superficie inferiore del disco, dove le tensioni di trazione inducono micro-plasticizzazioni e poi nucleazione di cricche. Il parametro di progetto è la variazione di tensione tangenziale Δσ calcolata come differenza tra la tensione massima di esercizio e quella residua garantita dal precarico minimo. La tensione alternata ammissibile σ_a si ricava dal criterio di Goodman modificato:

con σ_m è la tensione media del ciclo e σ_R rappresenta la resistenza a trazione ultima dell’acciaio impiegato. Nel caso delle molle a tazza, σ_D rappresenta come consueto il limite di fatica del materiale, tuttavia non può essere ottenuto direttamente dai provini normalizzati. Esso deve incorporare fattori di declassamento che considerino il gradiente tensionale estremo sulla sezione, la rugosità dei bordi tranciati e le alterazioni microstrutturali introdotte dai trattamenti di tempra e rinvenimento. Usare i valori da catalogo senza questi correttivi equivale a progettare con un margine di sicurezza molto limitato, se non addirittura nullo.

Esempi applicativi

Tra gli esempi più classici dei pacchi a molla troviamo la Frizione a Dischi. L’obiettivo in questo sistema consiste nel generare un carico assiale costante per la trasmissione del momento torcente nominale senza che avvengano fenomeni di slittamento. Il momento trasmissibile è:

dove z è il numero di interfacce di attrito attive, il coefficiente d’attrito operativo,

 la spinta assiale istantanea e

 il raggio medio equivalente sulle guarnizioni. L’usura progressiva del materiale d’attrito allunga la quota di installazione, spostando il punto di lavoro sulla curva caratteristica. La scelta di μ_f il coefficiente d’attrito operativo, F_m la spinta assiale istantanea e R_m il raggio medio equivalente sulle guarnizioni. L’usura progressiva del materiale d’attrito allunga la quota di installazione, spostando il punto di lavoro sulla curva caratteristica. La scelta di h₀/t prossimo a √2 risolve elegantemente il problema poiché il plateau della curva garantisce la stabilità del precarico anche a fronte di millimetri di consumo assiale, senza richiedere regolazioni periodiche. Un’altra applicazione molto interessante lo si può trovare nelle Valvole di sicurezza ad alta pressione dove la condizione di equilibrio allo scatto impone F_p = p_s A_v, con F_p precarico del pacco, p_spressione di taratura e A_v area effettiva di tenuta dell’otturatore. La vera sfida è il transitorio durante l’apertura, sicché un’isteresi eccessiva ne ritarda l’attivazione oltre i tempi imposti dalle direttive di sicurezza. All’estremo opposto, una rigidezza dinamica non bilanciata innesca il chattering, ovvero oscillazioni ad alta frequenza dell’otturatore che martellano la sede metallica fino all’usura completa delle parti.

Nei meccanismi preposti allo smorzamento degli urti e all’assorbimento delle vibrazioni torsionali, quali i parastrappi impiegati nelle applicazioni navali o negli impianti siderurgici, l’obiettivo è la dissipazione di grandi quantità di energia cinetica. L’energia dissipata per ciclo corrisponde all’area del ciclo di isteresi nel diagramma carico-deformazione:

Per massimizzare E_d si sfrutta deliberatamente l’attrito radiale dell’impilamento in parallelo, nelle frizioni era un effetto indesiderato ma diventa qui una funzione strutturale cruciale per il corretto funzionamento del sistema. La trasformazione di energia meccanica in calore impone tuttavia che in fase progettuale vengano verificate le condizioni termodinamiche, per cui la temperatura locale all’interfaccia non deve superare il valore di rinvenimento dell’acciaio, pena il collasso per rilassamento plastico. Il dimensionamento degli smorzatori ad alta capacità richiede l’integrazione di modelli meccanici e di scambio termico trattati come un unico sistema accoppiato, tipicamente strumenti di calcolo numerico a elementi finiti.

Conclusioni

Le molle a tazza sono componenti la cui semplicità geometrica cela una complessità di comportamento che, come visto, non ammette approssimazioni grossolane. Il modello di Almen-Laszlo fornisce la base analitica per controllare la non linearità della risposta attraverso il rapporto h₀/t, che rimane il parametro di progetto più influente e da esso dipende anche la stabilità del precarico, la forma del ciclo di isteresi e la sensibilità del comportamento dinamico.

Quando si passa dalla singola molla al pacco, la complessità cresce in modo non proporzionale. L’attrito tra i dischi, il rilassamento delle tensioni nel tempo e l’insorgere di fenomeni dinamici sono aspetti che devono essere considerati insieme, non separatamente. Un dimensionamento corretto richiede di trattare il sistema meccanico, termico e di fatica come un problema unitario, soprattutto nelle applicazioni in cui il cedimento non è immediatamente rilevabile o in cui il sistema funga da sicurezza. Le applicazioni esaminate mostrano, inoltre, come lo stesso principio costruttivo possa rispondere a esigenze molto diverse, purché la geometria e i materiali siano scelti in funzione del regime di lavoro reale e non di quello ideale. Usare i dati di catalogo senza i correttivi appropriati, o trascurare le variazioni dimensionali sotto carico, significa operare con margini di sicurezza che esistono solo sulla carta. In definitiva, la molla a tazza è uno strumento progettuale potente proprio perché la sua risposta è modulabile. Sfruttarla correttamente significa però conoscerne i limiti con la stessa precisione con cui se ne conoscono le potenzialità.