Nel mondo FEM esistono un numero pressoché infinito di elementi finiti e solitamente ci si trova davanti alla scelta di capire quale utilizzare e come. Il primo assunto da cui partire è che le geometrie che vengono fornite dal progettista devono sempre essere sottoposte a semplificazione.
di Francesco Grispo
Le geometrie fornite dal progettista vanno semplificate per due motivi:
- Il modello CAD è stato sviluppato per la produzione, quindi saranno presenti molti elementi che a livello di analisi non sono necessari. A cosa serve sapere che esiste uno scalino di 1 cm su una struttura di 10 metri se l’output richiesto è lo stress nelle zone di collegamento?
- Per risparmiare tempo e risorse di calcolo. I particolari di progettazione, come ad esempio filettature o piccoli fillet, a meno di particolari tipologie di analisi, non aggiungono nessuna informazione sul comportamento della struttura, ed anzi possono aumentare notevolmente il costo ed il tempo computazionale, andando a spendere di più sia in termini di corrente elettrica (si fare simulazioni comporta un consumo eccessivo di corrente elettrica) sia in termini di tempo, con conseguente spostamento della data di consegna di un determinato progetto.
Per capire quindi quale elemento utilizzare è necessario capire quale semplificazione bisogna adottare a seconda del problema in questione.
Tipologie di semplificazione
Si consideri il modello CAD in Figura 1:

Questo modello è stato creato avendo in mente la messa in produzione, ma un modello di questo tipo non può essere utilizzato per effettuare una simulazione numerica.
Basti guardare i particolari costruttivi per capire che per un’analisi FEM globale non servono.

Pertanto, le prime operazioni da effettuare, ancor prima del defeaturing (ossia togliere le varie feature) è una vera e propria semplificazione, come ad esempio rendere i pannelli 3D dei pannelli shell e gli elementi trave delle beam mono-dimensionali.

Come si fa a capire il miglior elemento da utilizzare per la semplificazione?
Per prima cosa si deve comprendere cosa è un elemento. La definizione più semplice è:
“Un elemento FEM rappresenta la più piccola unità con cui può essere discretizzato un insieme continuo. Al suo interno sono presenti delle equazioni costitutive, di congruenza e di continuità che permettono di risolvere la matrice di rigidezza e di massa del sistema da analizzare”.
Appurata quindi la sua definizione, si può passare a capire il modo con cui si può schematizzare. La scelta non è banale, in quanto si hanno diverse possibili configurazioni a seconda delle semplificazioni effettuate. Per capire quindi quale elemento utilizzare, si può utilizzare il seguente schema:

Come si vede, gli elementi principali sono sempre di tre tipologie, ossia
- Beam
- Shell
- Solid
Si analizzano ora l’utilizzo delle singole famiglie di elementi.
Per quanto riguarda il discorso di formulazione quadratica o lineare, sarà affrontato successivamente
Elementi Beam
Questi elementi hanno un costo computazionale paragonabile a zero. Molto facili da modellare, sono molto semplici da modificare (potendo cambiare la sezione ed il materiale quando vogliamo).
Inoltre si può effettuare un check analitico con un semplice foglio di calcolo.
Di contro però non tutte le strutture possono essere approssimate con una beam (basti pensare ai collegamenti angolari presenti in alcune strutture).
Per poter utilizzare gli elementi BEAM è sufficiente applicare la seguente regola:
“Se la lunghezza di un corpo è circa 10 volte la dimensione caratteristica della sezione, allora si può semplificare come trave”
Elementi shell
Come detto in precedenza, non tutti gli elementi possono essere approssimati a travi. Se la struttura non può essere approssimata a beam, allora bisogna verificare che si possa utilizzare un elemento shell. Questi elementi approssimano una struttura come una piastra con lo spessore come parametro concentrato. Il costo computazionale è sempre molto contenuto e per modificare la dimensione dello spessore è sufficiente cambiare un parametro numerico, il che può portare ad effettuare notevoli verifiche molto rapidamente. Di contro ovviamente si perdono informazioni sulle tensioni lungo lo spessore.
Per poterli utilizzare si deve applicare la seguente regola:
“Se la struttura presenta una dimensione caratteristica (che si può ipotizzare essere la diagonale del box di contenimento) che è circa 10 volte lo spessore, allora si può approssimare con elementi shell”
Elementi solidi
Quando non si possono utilizzare né elementi beam né elementi shell, l’unica alternativa rimangono gli elementi solid. Questi elementi non sono da considerarsi sbagliati e non si deve pensare che portino a risultati errati. Molte cose possono essere modellate solamente con elementi 3D (ad esempio un bullone con la sua filettatura oppure un cuscinetto).
Ma quale forma si deve utilizzare nella semplificazione?
Con il concetto di forma si intende la tipologia di equazioni che lo governano, che si rispecchia nella forma che assume l’elemento. Per gli elementi shell si possono avere forme triangolari o quadrangolari.
Contrariamente a quanto si pensa, il loro utilizzo non pregiudica sulla qualità dei risultati ottenuti.
Per gli elementi 3D invece, si hanno 3 principali famiglie di elementi che sono gli elementri tetra, gli elementi hex e gli elementi prismatici.
Gli elementi hex presentano un campo più uniforme e richiedono meno memoria computazionale.

La scelta di una forma di elemento rispetto ad un altro è effettuata in base alla complessità della geometria da meshare. Se ad esempio la geometria presenta degli assi di simmetria, sarà possibile creare una griglia di calcolo uniforme con elementi hex o prismatici. Di contro, se la geometria da analizzare presenta delle curvature complesse o comunque non ha assi di simmetria, conviene sempre utilizzare degli elementi tetra.
Il parametro che intacca la qualità della soluzione non è la forma dell’elemento ma bensì l’ordine della sua funzione di forma. Si parla quindi di elementi quadratici o elementi lineari.
Per una soluzione più ottimale, almeno nel campo delle analisi lineari statiche, si consiglia sempre un approccio con elementi quadratici.

Le tipologie di elementi nel mondo della simulazione FEM non si limitano a questi appena visti. Ne esistono molti altri quali quali ad esempio gli elementi RBE o rigidi, gli elementi axialsimmetrici, i super elementi senza parlare di quelli relativi ad altre tipologie di analisi o verticalizzati per alcune fisiche (ad esempio gli elementi lineari di tipo pipe che permettono la definizione di un carico interno di pressione).
Ogni problema dovrà essere trattato con la miglior semplificazione possibile, senza andare a perdere di accuratezza e di robustezza della simulazione.