Rimozione degli elementi per la simulazione della frattura nei componenti meccanici

Rimozione degli elementi in un software open-source per la simulazione della frattura nei componenti meccanici. Per una corretta analisi del cedimento statico di un componente è fondamentale prevedere la posizione della superficie di frattura e come questa propaghi all’interno del componente. Per questo tipo di analisi è possibile utilizzare software agli elementi finiti in cui, una volta raggiunta una soglia critica, la separazione automatica degli elementi della mesh permette di simulare l’apertura della cricca.

Di Franco Concli, Zaki Alomar e Cristian Cappellini

L’analisi agli elementi finiti (FEA) è uno strumento fondamentale per la buona progettazione che viene adottato ormai in molti settori industriali. L’importanza della FEA è da imputare alla sua capacità di fornire tutte le informazioni sullo stato di sollecitazione e deformazione indipendentemente dalla geometria del componente e dalle condizioni di carico. La capacità di prevedere il cedimento di una struttura ancor prima di costruirla fisicamente, riduce la necessità di una prototipazione su vasta scala. La struttura può essere testata e ottimizzata fino al raggiungimento di un design che soddisfi tutti i requisiti e portando molto spesso ad un abbattimento dei costi e tempi per lo sviluppo.

Attualmente esiste una molteplicità di software FEA. Generalmente, i software possono essere divisi in due categorie principali: le piattaforme commerciali e sistemi open-source. I software commerciali FEA sono affidabili e facile da usare, ma spesso comportano elevati oneri di licenza. Inoltre, il codice non è aperto e lo strumento rimane una sorta di “scatola nera” a cui l’ingegnere progettista deve affidarsi senza poterci mettere mano. Al contrario, i software FEA open-source non richiedono licenze e, in molti casi, mettono a disposizione il codice sorgente consentendone modifiche per implementare nuove funzionalità [1-3]. Le  caratteristiche di cui sopra  hanno  spostato l’interesse di molte  aziende ed enti di ricerca verso piattaforme open-source, in particolare per l’analisi strutturale.

Nel seguito verrà mostrato quando sviluppato presso la Libera Università di Bolzano, con l’obiettivo di introdurre un algoritmo di gestione degli elementi per la modellazione delle fratture anche nel software FEA open-source Code_Aster. Tale software, sviluppato e mantenuto dal Dipartimento francese dell’energia (EDF), è scritto in Python. Tale linguaggio è stato utilizzato anche l’implementazione dell’algoritmo di gestione della griglia e l’espansione delle funzionalità del software.

Analisi della letteratura

La tecnica di cancellazione degli elementi è già stata implementata in alcuni software commerciali come “ABAQUS” e “LS-DYNA”. Tuttavia, l’uso di questa tecnica è ancora in qualche modo limitato a causa dell’alto livello di competenza necessario per sfruttarne in modo affidabile le funzionalità. Lo scopo principale dell’utilizzo della cancellazione degli elementi è quello appunto di rimuovere gli elementi distorti in un’analisi esplicita al fine di raggiungere la convergenza numerica e, successivamente, procedere con la simulazione. Nelle simulazioni implicite, tuttavia, l’eliminazione di elementi porta a gravi problemi di convergenza. Per questo, la tecnica che prevede la cancellazione degli elementi è per lo più utilizzata nelle analisi esplicite come la simulazione di incidenti [4],  impatti  [5, 6], lavorazioni meccaniche [7] e l’evoluzione del danno nei materiali duttili [8, 9]. Inoltre, la cancellazione degli elementi, se non associata ad un forte infittimento locale della griglia, spesso si traduce in perdite di energia e di massa dal sistema che portano a una sottostima dei risultati attesi.

Marco et al. [10] hanno modellato la frattura ossea di un femore usando Abaqus/Explicit e l’algoritmo di cancellazione degli elementi per tracciare la crescita della cricca. La subroutine utilizzata in tale studio confronta la deformazione principale massima con le deformazioni critiche caratteristiche di ciascun materiale. Quando il rapporto tra la tensione principale massima e quella critica raggiunge il valore unitario, gli elementi corrispondenti vengono automaticamente eliminati. I risultati della simulazione, mostrati in Figura 1, sebbene abbiano dimostrato la capacità della subroutine di cancellazione degli elementi di modellare la nascita di una cricca, non sono stati in grado di rappresentare correttamente la sua morfologia a causa delle difficoltà di convergenza incontrate durante la simulazione.

Allo stesso modo, Belda et al. [11] hanno modellato, sempre in sistemi ossei, le fratture da compressione. Gli autori hanno utilizzato una combinazione di modelli di meccanica della frattura e tecniche di rimozione degli elementi per simulare le fratture a livello microscopico. Il danneggiamento è stato modellato come un degrado del materiale così da descrivere la progressiva perdita di rigidezza dovuta alla propagazione del danneggiamento. La frattura completa è stata successivamente generata con la cancellazione degli elementi. La frattura prevista dall’analisi FEA è in buon accordo con i risultati sperimentali.

La cancellazione degli elementi si è mostrata utile anche nella simulazione dei processi di taglio. Muaz e Choudhury [12] sono stati in grado di modellare e simulare numericamente il processo di fresatura con asportazione di truciolo. Gli elementi considerati danneggiati sono stati rimossi dalla griglia di calcolo ed il modello è stato validato confrontando la temperatura prevista numericamente con i risultati sperimentali. L’errore ottenuto è stato di circa il 6,1%.

Woldman et al. [13] hanno  modellato l’usura abrasiva nei componenti delle macchine che operano nelle cave. L’usura viene modellata anch’essa con la tecnica di cancellazione degli elementi attraverso un criterio basato sia sulle tensioni sia sulla deformazione plastica equivalente. L’abrasione osservata sperimentalmente è risultata molto simile a quanto previsto numericamente.

In generale, la cancellazione degli elementi è una tecnica potente con enormi potenzialità che devono ancora essere sfruttate. In questo lavoro, si è implementato un semplice algoritmo di cancellazione degli elementi simile alla subroutine disponibile in Abaqus all’interno del software open source “Code_Aster”.

Metodologia

Il software Code_Aster, nella versione pubblica, non ha la possibilità di rimuovere gli elementi durante le simulazioni. Questa opzione è disponibile solamente nel preprocessore (meshing), il che rende piuttosto difficile lo sviluppo di automatismi per la cancellazione degli elementi. Tuttavia, il software consente l’aggiunta di elementi. Quest’ultima feature può essere sfruttata per estrarre gli elementi non ancora considerati ceduti dopo un primo step di simulazione e creare un nuovo modello per il prosieguo del calcolo. Giaccari [14] ha implementato uno script che esegue l’ottimizzazione della struttura mediante rimozione del materiale seguendo l’approccio di cui sopra. Il codice presentato nel seguito segue lo stesso approccio ma con lo scopo di eliminare gli elementi una volta raggiunta la resistenza allo snervamento a trazione del materiale e simulare quindi la rottura del provino.

Configurazione della simulazione

Per testare l’efficacia del codice per la cancellazione degli elementi, è stata effettuata una semplice analisi non lineare su un campione intagliato sottoposto tensione uniassiale. Il campione è mostrato in Figura 2a. Sapendo che le sollecitazioni saranno le più alte all’apice dell’intaglio, la mesh è stata raffinata solo in quella posizione (Figura 2b) così da mostrare al meglio la funzionalità del codice di cancellazione degli elementi senza aumentare drasticamente l’onere computazionale.

Il materiale utilizzato in questo studio è Co-Ten. Esso ha un modulo di elasticità di 210 GPa, un coefficiente di Poisson di 0,30 e un limite di snervamento pari a 375 MPa  (il valore soglia utilizzato per la rimozione degli elementi) [15]. La prova di trazione viene eseguita applicando uno spostamento incrementale di 0,4 mm al bordo superiore del campione. Il bordo inferiore risulta invece completamente vincolato.

La simulazione della nucleazione ed avanzamento della cricca richiede la creazione di sempre nuove mesh, e successivamente ulteriori iterazioni di calcolo. Pertanto, i campi di sollecitazione e spostamento vengono copiati dai risultati di una iterazione alla successiva (in cui la mesh è differente per seguire l’evoluzione della cricca). Poiché si tratta di una simulazione implicita, la rimozione di un elemento può comportare problemi di convergenza. Per superare questo problema, ad ogni elemento da eliminare viene assegnato un materiale virtuale con rigidezza di due ordini di grandezza inferiori rispetto al materiale reale non danneggiato.

Risultati

Nelle simulazioni la rottura avviene dopo un allungamento di 5,2 mm simulato in 13 step. Dopo ogni step, i risultati sono mappati sulla nuova griglia in cui gli elementi considerati ceduti sono stati rimossi. Figura 3 presenta la distribuzione delle sollecitazioni di von Mises nel campione al progredire della simulazione. Si nota bene anche l’avanzamento della frattura fino alla completa rottura del campione.

Il numero iniziale di elementi finiti nel modello era 2034. Dopo il primo step di simulazione, il numero di elementi è diminuito a 1536 scendendo a 1440 dopo l’ultima iterazione. Va notato come tra il secondo ed il terzo step di simulazione e tra il quarto ed il quinto, il numero di elementi non sia cambiato poiché il valore di soglia non è mai stato raggiunto.

Risulta chiaro come il codice di eliminazione degli elementi sia efficace nel rimuovere l’elemento corretto e prevedere l’evoluzione del danneggiamento. Il 13^° passo (Fig. 3 a dx) mostra la rottura del campione. La simulazione della separazione delle due parti del provino è stata possibile grazie all’utilizzo di un materiale virtuale per gli elementi considerati “ceduti”. In questo modo si è eliminato il rischio di problemi di convergenza. In una simulazione esplicita, tuttavia, questo tipo di problematica non dovrebbe sussistere ed il codice dovrebbe funzionare senza la necessità di aggiungere il materiale virtuale. Questo sarà oggetto dei prossimi sviluppi.

I risultati ottenuti in questo studio sono solo un esempio delle capacità del codice di cancellare degli elementi e modellare il cedimento. Il criterio di cedimento può essere scelto in modo del tutto generico ed arbitrario: la temperatura, ad esempio, può essere il criterio di cedimento in una analisi termomeccanica. Le opzioni sono semplicemente illimitate soprattutto grazie alla libertà offerta dal software open-source.

Conclusioni

In questo lavoro, viene presento un nuovo algoritmo per la cancellazione degli elementi basato sull’assegnazione di un materiale virtuale con rigidezza molto bassa a tutti gli elementi sollecitati oltre il carico di snervamento (e quindi considerati ceduti). Il codice è implementato nel software open-source Code_Aster e testato per la simulazione del comportamento di un campione intagliato sottoposto ad una prova di trazione. Dai risultati delle simulazioni condotte si può concludere che:

• Per la simulazione implicita, l’algoritmo di cancellazione degli elementi da solo non risulta sufficiente in quanto porta a problemi di convergenza.
• Agli elementi considerati ceduti viene assegnato un materiale virtuale con rigidezza molto inferiore. Questo approccio serve a prevenire problemi di convergenza nella simulazione implicita permettendo di modellare anche la separazione completa delle due parti del provino.
• Il codice sviluppato risulta in grado di prevedere la forma della frattura.
• L’algoritmo presentato offre un alto potenziale per l’analisi delle fratture ma potrebbe essere sfruttato anche in molti altri campi in cui si usa la modellazione computazionale.

Riferimenti

1. Zaheer, M., Lindh, P., Aarniovuori, L., Pyrhonen, J.: Comparison of Commercial and Open-Source FEM Software: A Case Study. IEEE Trans. Ind. Appl. 56, 6411–6419 (2020). https://doi.org/10.1109/TIA.2020.3015827
2. Huo, Z., Mei, G., Xu, N.: juSFEM: A Julia-based open-source package of parallel Smoothed Finite Element Method (S-FEM) for elastic problems. Comput. Math. with Appl. 81, 459–477 (2021). https://doi.org/10.1016/J.CAMWA.2020.01.027
3. Meng, Q.X., Xu, W.Y., Wang, H.L., Zhuang, X.Y., Xie, W.C., Rabczuk, T.: DigiSim — An Open Source Software Package for Heterogeneous Material Modeling Based on Digital Image Processing. Adv. Eng. Softw. 148, 102836 (2020). https://doi.org/10.1016/J.ADVENGSOFT.2020.102836
4. Shi, D., Xiao, X.: An enhanced continuum damage mechanics model for crash simulation of composites. Compos. Struct. 185, 774–785 (2018). https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.10.084
5. Takazawa, H., Hirosaka, K., Miyazaki, K., Tohyama, N., Saigo, S., Matsumoto, N.: Numerical simulation of impact loading for reinforced concrete wall. Int. J. Press. Vessel. Pip. 167, 66–71 (2018). https://doi.org/10.1016/J.IJPVP.2018.10.010
6. Dewangan, M.K., Panigrahi, S.K.: Finite element analysis of hybrid 3D orthogonal woven composite subjected to ballistic impact with multi-scale modeling. Polym. Adv. Technol. 32, 964–979 (2021). https://doi.org/10.1002/pat.5143
7. Priest, J., Ghadbeigi, H., Avar-Soberanis, S., Gerardis, S.: 3D finite element modelling of drilling: The effect of modelling method. CIRP J. Manuf. Sci. Technol. 35, 158–168 (2021). https://doi.org/10.1016/j.cirpj.2021.06.001
8. Seupel, A., Hütter, G., Kuna, M.: An efficient FE-implementation of implicit gradient-enhanced damage models to simulate ductile failure. Eng. Fract. Mech. 199, 41–60 (2018). https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.01.022
9. Estrada, Q., Szwedowicz, D., Silva-Aceves, J., Majewski, T., Vergara-Vazquez, J., Rodriguez-Mendez, A.: Crashworthiness behavior of aluminum profiles with holes considering damage criteria and damage evolution. Int. J. Mech. Sci. 131–132, 776–791 (2017). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2017.07.042
10. Marco, M., Giner, E., Larraínzar-Garijo, R., Caeiro, J.R., Miguélez, M.H.: Modelling of femur fracture using finite element procedures. Eng. Fract. Mech. 196, 157–167 (2018). https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.04.024
11. Belda, R., Palomar, M., Peris-Serra, J.L., Vercher-Martínez, A., Giner, E.: Compression failure characterization of cancellous bone combining experimental testing, digital image correlation and finite element modeling. Int. J. Mech. Sci. 165, 105213 (2020). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2019.105213
12. Muaz, M., Choudhury, S.K.: A realistic 3D finite element model for simulating multiple rotations of modified milling inserts using coupled temperature-displacement analysis. Int. J. Adv. Manuf. Technol. 107, 343–354 (2020). https://doi.org/10.1007/s00170-020-05085-4
13. Woldman, M., Van Der Heide, E., Tinga, T., Masen, M.A.: A Finite Element Approach to Modeling Abrasive Wear Modes. Tribol. Trans. 60, 711–718 (2017). https://doi.org/10.1080/10402004.2016.1206647
14. Structure Optimization with Code_Aster / Code_Aster usage / Code_Aster forums, https://www.code-aster.org/forum2/viewtopic.php?id=14692
15. Concli, F., Maccioni, L.: Experimental–numerical calibration of the fracture locus of weathering steel. In: WIT Transactions on Engineering Sciences. pp. 219–227. WIT Press (2019)