Come definire un datum primario perfetto su superfici imperfette

Fig. 1. Nella misurazione dell'altezza di una persona le piante dei piedi non poggiano completamente sul pavimento a causa della volta plantare concava che costituisce un "datum feature". Il piano di riferimento (datum) viene invece stabilito e simulato dal pavimento (considerato un piano perfetto), che si accoppia al datum feature dei piedi a causa della forza applicata basata sul peso della persona.

Tecniche di associazione di datum mediante macchine di misura CMM

di Stefano Tornincasa

Un’errata convinzione di molti progettisti consiste nel credere che i riferimenti (datum) siano particolari superfici fisiche di parti reali. Il riferimento è invece un elemento geometrico astratto e ideale (punto linea, piano), che viene associato alla geometria imperfetta del componente, in modo da identificare uno o più sistemi di riferimento cartesiani, con l’obiettivo fondamentale di orientare e localizzare le zone di tolleranze tridimensionali.

È quindi opportuno distinguere il concetto di elemento di riferimento (datum feature, etichettato nel disegno e imperfetto) e il riferimento (o datum) elemento geometrico astratto, di forma perfetta, e associato (mediante algoritmi matematici) al datum feature.

Prendiamo come esempio la misurazione dell’altezza di una persona misurata dal pavimento alla sommità della testa (fig. 1): le piante dei piedi non poggiano completamente sul pavimento a causa della volta plantare che certamente non rappresenta un piano perfetto per cui questa superficie concava costituisce un “datum feature“. Il piano di riferimento (datum) viene invece stabilito e simulato dal pavimento (considerato un piano perfetto), che si accoppia al datum feature dei piedi a causa della forza applicata basata sul peso della persona.

Gli algoritmi di interpolazione

Il riferimento o datum è quindi un elemento geometrico astratto, ottenuto attraverso un procedimento matematico di associazione col datum feature, cioè viene associata alla superfice reale (estratta e filtrata) un elemento ideale (piano, punto o linea) usando un algoritmo di approssimazione.

Una funzione matematica di approssimazione è descritta dalle deviazioni geometriche locali (simbolo L) tra i punti misurati e il piano interpolante. L’ottimizzazione di questa funzione obiettivo definisce il risultato finale dell’associazione, cioè la posizione e l’orientamento del piano ideale associato. Dati n punti estratti metrologicamente, se 𝑑𝑖 è una distanza misurata dall’i-esimo punto alla curva o superficie, gli obiettivi di interpolazione sono forniti nella tabella 1 in forma matematica.

Nella metrologia delle coordinate, le funzioni obiettivo più conosciute sono: la funzione interpolante 𝐿1 (minima distanza), la funzione 𝐿2 (minimi quadrati) e la funzione interpolante 𝐿 (zona minima o Chebyshev).

NomeSimboloDescrizione matematicaObiettivo
L1KMinimizza la distanza tra l’elemento e la controparte geometrica (minimo volume)
L2GMinimizza la somma dei quadrati delle distanze tra l’elemento e la controparte geometrica (minimi quadrati)
L`CMinimizza la distanza massima assoluta tra il datum e il datum feature (minimax o Chebyshev)
Tabella 1. Funzioni obiettivo interpolanti secondo la ISO 4351:2023

Un esempio applicativo

Per dare al lettore un’idea della natura di queste funzioni di interpolazione, si consideri un piano che debba essere associato (in modo non vincolato) a un insieme di punti estratti (fig. 2). La funzione obiettivo di interpolazione 𝐿2 (cioè il piano dei minimi quadrati) è tale che la distanza media dei punti misurati dal piano associato sia uguale a zero. La funzione obiettivo 𝐿(minimax) è tale che la distanza media (media della distanza massima e minima) sia uguale a zero. Infine, la funzione obiettivo 𝐿1 è tale che la mediana dei punti misurati dal piano associato sia uguale a zero (almeno per semplicità quando il numero di punti è dispari).

Fig. 2. Comportamento delle funzioni di interpolazione nel caso di un piano da associare (in modo non vincolato) a un insieme di punti estratti. La funzione obiettivo di interpolazione 𝐿2 (cioè il piano dei minimi quadrati) è tale che la distanza media dei punti misurati dal piano associato sia uguale a zero. La funzione obiettivo 𝐿∞ (minimax) è tale che la distanza media (media della distanza massima e minima) sia uguale zero. Infine, la funzione obiettivo 𝐿1 è tale che la mediana dei punti misurati dal piano associato sia uguale a zero.

Le normative sui datum

Ma quali sono gli algoritmi consigliati dalle normative ISO e ASME? La procedura di default secondo lo standard ISO 5459:2011 (dedicato ai datum) è il procedimento denominato minimax vincolato, cioè utilizzare un piano minimax 𝐿che riduca al minimo la distanza massima assoluta tra il datum e il datum feature. La norma ASME Y14.5 del 2018 suggerisce come procedura di default la controparte geometrica perfetta che minimizzi la distanza col datum feature (piano di minima separazione L1).

In realtà, la pubblicazione della norma ASME Y14.51 del 2019 ha reso possibile l’utilizzo di ulteriori procedure di calcolo per la determinazione di un datum planare. La procedura consigliata è l’algoritmo “piano dei minimi quadrati 𝐿2 col vincolo esterno”, con cui si minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra il piano candidato e il datum feature. Il simbolo E viene utilizzato per la specifica del vincolo esterno, il simbolo I per quello interno, mentre il simbolo M si usa per definire un piano associato senza alcun vincolo.  In accordo alla ISO 5459, è quindi possibile indicare nel disegno la procedura di associazione per i datum come nel disegno della piastra di figura 3, in cui la tolleranza del profilo viene verificata con un piano associato dei minimi quadrati senza vincoli [GM], mentre la tolleranza di localizzazione viene controllata con un piano primario dei minimi quadrati con vincolo esterno [GE].

Fig. 3. In accordo con la ISO 5459, è possibile indicare nel disegno la procedura di associazione per i datum. Nel disegno della piastra, la tolleranza del profilo viene verificata con un piano associato dei minimi quadrati senza vincoli [GM], mentre la tolleranza di localizzazione viene controllata con un piano primario dei minimi quadrati con vincolo esterno [GE].

La normativa consente anche la definizione nel disegno (in corrispondenza del cartiglio) di una procedura di default, mediante il richiamo alla normativa e l’indicazione in parentesi quadre dell’algoritmo di associazione (fig. 4).

Fig. 4. La normativa consente anche la definizione nel disegno (in corrispondenza del cartiglio) di una procedura di default, mediante il richiamo alla normativa e l’indicazione in parentesi quadre dell’algoritmo di associazione (DS sta per Drawing-default specification).

Algoritmi a confronto

La figura 5 illustra la differenza tra gli algoritmi di associazione nel caso di componenti convessi con problemi di oscillazione durante la misura. Come si nota, il simulatore dei minimi quadrati vincolati (GE) offre una soluzione equalizzata con un’esternalità e contatto eccellenti. Inoltre, ha una buona attendibilità e ripetibilità che è la condizione ideale in metrologia, per cui, oltre a essere utilizzato nei software più diffusi delle macchine CMM, diventerà nel futuro anche la procedura di default ISO.

Fig. 5. Differenza tra gli algoritmi di associazione nel caso di componenti convessi con problemi di oscillazione durante la misura. Come si nota, il simulatore dei minimi quadrati vincolati (GE) offre una soluzione equalizzata con un’esternalità e contatto eccellenti.