Una delle domande che viene posta più spesso a chi fa analisi numerica riguarda la validità e affidabilità dei risultati. La calibrazione e la successiva validazione delle analisi numeriche è essenziale per garantire la coerenza tra simulazioni e dati sperimentali, fondamentale per modelli affidabili. In questo articolo, spiegheremo il significato dei due termini e come è possibile effettuare la calibrazione.
di C.A. Pasquinucci
Una delle domande più frequenti rivolte agli esperti di analisi numerica riguarda la validità e l’affidabilità dei risultati ottenuti. Le analisi numeriche rappresentano strumenti potenti per lo studio e la comprensione di fenomeni complessi; tuttavia, per garantire che i risultati siano non solo affidabili ma anche utili per le applicazioni pratiche, è essenziale verificarne la validità e avere una stima precisa dell’errore potenziale associato.
È importante fare delle precisazioni riguardo alla natura dell’errore nelle analisi numeriche, poiché il suo impatto può variare significativamente a seconda del tipo di progetto e dell’applicazione specifica. Ad esempio, nelle applicazioni critiche come la progettazione aerospaziale o strutturale, dove la sicurezza e l’efficienza operativa sono di primaria importanza, è imperativo che l’errore sia minimizzato al massimo grado possibile. Anche piccoli margini di errore possono avere conseguenze significative in termini di sicurezza e performance.
In contesti meno critici, invece, una maggiore tolleranza dell’errore può essere accettabile, purché i risultati ottenuti siano comunque sufficientemente precisi da fornire indicazioni utili e praticabili. In questi casi, l’obiettivo principale è ottenere una comprensione generale del fenomeno studiato piuttosto che una precisione assoluta.
La quantificazione dell’errore in un’analisi numerica può essere calcolata attraverso l’uso di strumenti avanzati di validazione dei risultati e di calibrazione del modello. La validazione comporta il confronto dei risultati delle simulazioni con dati sperimentali o con soluzioni analitiche note, al fine di valutare la precisione del modello utilizzato. La calibrazione, d’altra parte, implica l’adattamento dei parametri del modello per migliorarne la corrispondenza con i dati reali, riducendo così l’errore complessivo.
Risultati di un’analisi numerica
Innanzitutto, è fondamentale chiarire quali siano i risultati attesi da un’analisi numerica. Le richieste possono variare notevolmente a seconda del contesto e dell’obiettivo specifico dell’analisi. Ad esempio, in molti casi, ci viene richiesto di verificare che una struttura non snervi o non si rompa sotto determinate condizioni di carico. Questo tipo di analisi è cruciale in settori come l’ingegneria civile e l’ingegneria meccanica, dove la sicurezza strutturale è di primaria importanza.
In altre situazioni, l’obiettivo dell’analisi numerica è determinare se una configurazione progettuale sia migliore di un’altra. Questo tipo di analisi comparativa è spesso utilizzato nella fase di ottimizzazione del design, sia in ambito industriale che nell’ingegneria aerospaziale. Per esempio, si può confrontare l’efficienza aerodinamica di diverse forme di ala per un aereo, oppure valutare il comportamento termico di diversi materiali in un dispositivo elettronico. In questo caso, non è cruciale il valore trovato, ma la differenza fra le diverse configurazioni.
Solo in una minoranza di casi, l’analisi numerica è focalizzata sulla determinazione di un valore numerico con precisione assoluta. Un esempio tipico di questa situazione si verifica nel motorsport, dove le differenze fra diverse configurazioni possono essere minime
Validazione
Partiamo dalla validazione, poiché è indubbiamente il concetto più semplice da spiegare. La validazione consiste nel verificare che i risultati ottenuti dall’analisi numerica siano conformi a quelli riscontrati in condizioni reali. Questa verifica è di natura a posteriori e spesso viene eseguita non tanto mediante test sperimentali, quanto direttamente sul prodotto finito.
L’analisi numerica produce risultati sia quantitativi che qualitativi, sebbene questi ultimi possano essere convalidati solo con strumenti estremamente complessi. Per esempio, è relativamente semplice determinare il valore di portata di un ventilatore, mentre è più complicato analizzare il flusso e la turbolenza da esso generati. Allo stesso modo, è possibile verificare se una struttura resiste al carico previsto, ma è più complesso determinare il suo stato tensionale reale.
La validazione di una simulazione non solo conferisce maggiore certezza sulla validità delle simulazioni simili, ma può anche essere utilizzata per migliorare i risultati delle analisi successive. Pertanto, è di fondamentale importanza comunicare al reparto di analisi o al consulente esterno l’esito dei test o i risultati ottenuti sul campo.
Durante il processo di simulazione, è necessario eseguire una validazione del risultato numerico, assicurandosi che il valore trovato rappresenti effettivamente la soluzione al problema. È particolarmente importante verificare la validità delle ipotesi formulate e garantire che il calcolo sia giunto a convergenza, ovvero che il valore numerico sia stabile e non dipenda dall’iterazione in cui si arresta il calcolo.
Ad esempio, è prassi consolidata controllare se il moto del fluido sia turbolento o laminare e verificare che questa condizione rispetti l’ipotesi formulata nell’impostazione del calcolo. Per quanto riguarda le analisi con il metodo degli elementi finiti (FEM), è essenziale accertarsi che la tensione nel materiale non superi il limite di snervamento se si è utilizzata l’ipotesi di linearità della legge sforzo-deformazione, ipotesi che non è più valida oltre il punto di snervamento del materiale.
Calibrazione
In ogni simulazione, ci sono diverse decine, se non centinaia, di parametri che possono influire sul risultato. Alcuni di questi parametri sono relativamente semplici da comprendere, come le proprietà dei materiali, mentre altri sono più complessi, come i coefficienti dei modelli di turbolenza o i fattori di sottorilassamento.
La calibrazione è il processo mediante il quale il valore di questi parametri viene aggiustato a priori per migliorare la corrispondenza tra le previsioni del modello e i dati sperimentali disponibili. Questo processo implica la modifica dei parametri del modello fino a quando le simulazioni non riproducono accuratamente i dati raccolti da esperimenti o osservazioni reali.
La calibrazione viene effettuata prima di ottenere i risultati finali della simulazione e spesso richiede numerose simulazioni intermedie, oltre a una considerevole quantità di dati sperimentali. Fortunatamente, è possibile calibrare il modello utilizzando simulazioni di geometrie e fenomeni fisici più semplici, ritenendo che il setup trovato sia calibrato anche per geometrie più complesse.

Step per la calibrazione
- Raccolta dei dati sperimentali: Il primo passo consiste nella raccolta di dati sperimentali di alta qualità. Questi dati devono essere accurati, riproducibili e rilevanti per il fenomeno che si intende modellare.
- Scelta dei parametri da calibrare: Non tutti i parametri del modello possono essere calibrati. È necessario identificare i parametri più sensibili e significativi, che influenzano maggiormente i risultati del modello, attraverso l’esperienza e l’analisi di sensibilità. Inoltre, è sicuramente più utile calibrare i parametri in ordine in funzione della loro influenza sui risultati.
- Scelta degli algoritmi di calibrazione: è buona norma effettuare una prima calibrazione di massima, in modo da comprendere l’influenza dei parametri sui risultati e acquisire un buon know-how anche per calibrazioni future, ma in presenza di numerosi parametri e simulazioni complesse, conviene usare algoritmi specifici, come quello di Levenberg-Marquardt, oppure effettuare un’ottimizzazione genetica o in un prossimo futuro, sfruttare la potenza dell’intelligenza artificiale
- Confronto con i dati sperimentali: Si eseguono simulazioni con il modello calibrato e si confrontano i risultati con i dati sperimentali. Se necessario, si iterano i passi di calibrazione fino a ottenere una buona corrispondenza.
- Generalizzazione: Una volta calibrato il modello, è fondamentale validarlo con un insieme indipendente di dati e su diverse geometrie, per assicurarsi che il modello sia il più possibile generalizzabile e non semplicemente adattato ai dati e alle geometrie utilizzati come input per la calibrazione.

Problematiche della calibrazione
Come si può intuire, il processo di calibrazione risulta essere piuttosto complesso e richiede una notevole quantità di risorse computazionali. Tuttavia, esso è fondamentale in tutti quei casi in cui si desidera ottenere una perfetta corrispondenza tra i risultati della simulazione e i dati sperimentali o reali, come ad esempio negli sport motoristici. È infatti usuale, in Formula 1, che le prime sessioni di test vengano utilizzate per raccogliere dati sulla velocità dell’aria nei vari punti attorno alla vettura, per esempio, con i rastrelli su coi vengono montati diversi tubi di Pitot. Questi dati, vengono poi confrontati con i risultati delle analisi fluidodinamiche, al fine di migliorare la calibrazione e ottenere risultati più accurati.
Inoltre, una problematica significativa, particolarmente evidente quando si vogliono calibrare diverse decine di parametri, riguarda la non unicità della soluzione. Infatti, è molto probabile che esistano diverse combinazioni di parametri che possano fornire una buona corrispondenza con i dati sperimentali. Questo problema, noto come equifinalità, comporta una lenta convergenza negli algoritmi di ottimizzazione e, purtroppo, può portare anche a una loro divergenza. Per questo motivo, è necessario alternare fasi di calibrazione manuale e automatica, per assicurare la robustezza e l’affidabilità del processo di calibrazione.

Conclusioni
Mentre il processo di validazione può essere effettuato in maniera relativamente semplice attraverso test sulle performance della macchina già costruita, la calibrazione richiede risorse e costi significativi prima ancora di effettuare la simulazione vera e propria. Di conseguenza, il processo di calibrazione può essere eseguito solo per poche simulazioni specifiche. Come si può quindi essere sicuri che i parametri della simulazione siano corretti?
Normalmente, in letteratura esistono valori dei parametri calibrati su casi diversi, fisiche differenti e geometrie variegate. Inoltre, le grandi software house conducono, o dovrebbero condurre, numerosi test per calibrare i coefficienti che forniscono di default nel settaggio dell’analisi. Questo rappresenta uno dei vantaggi dell’utilizzare un software commerciale rispetto a uno open-source.
Un altro metodo consiste nell’utilizzare software il più specifici possibile per il fenomeno fisico da simulare, piuttosto che strumenti più generici. Ad esempio, se si desidera effettuare una simulazione con reazioni chimiche complesse, è preferibile utilizzare Converge, un software creato appositamente per questo tipo di simulazione, rispetto a un software più flessibile come Ansys. Analogamente, per calcolare il carico del vento su una struttura, è meglio utilizzare Vento, progettato specificamente per questo scopo, piuttosto che un software più generico come Star-CCM+.
Per quanto riguarda l’accuratezza e l’affidabilità dei risultati, conviene affidarsi a uno studio di consulenza che esegua numerose simulazioni con feedback da clienti diversi e che possieda esperienza nell’ambito desiderato. Purtroppo, o per fortuna, anche nel 2024, l’esperienza e la sensibilità dell’analista rimangono fondamentale per ottenere risultati attendibili e utili.