I metodi locali di progettazione a fatica, allo scopo di calcolare la vita del componente saldato, tendono a raffi nare le indagini strutturali proprio nei punti in cui ha luogo l’innesco del difetto. Il presente contributo mostra come il metodo del gradiente implicito può essere usato nella progettazione a fatica delle strutture saldate ad arco direttamente su modelli FEM tridimensionali
P. Livieri, R. Tovo, Dipartimento di Ingegneria università di Ferrara
Lo stato tensionale in prossimità dei cordoni di saldatura
Nelle giunzioni saldate ad arco sollecitate a fatica, il cordone di saldatura è normalmente sede di fratture. Ciò è dovuto al fatto che al piede o alla radice dei cordoni, è possibile individuare degli intagli aperti acuti che rendono il cordone sito preferenziale di innesco e propagazione di cricche e quindi, spesso, il punto più debole dell’intera struttura. La figura 1 presenta una sezione trasversale di un cordone di saldatura dove oltre ad essere evidenziata la zona di fusione e la zona termicamente alterata è ben visibile l’intaglio acuto al piede del cordone dove è innescata la cricca per fatica.
Con i programmi agli elementi finiti è possibile ottenere dettagliate analisi capaci di mettere in luce i forti gradienti di tensione che si hanno in prossimità dei cordoni di saldatura. È così possibile verificare che in prossimità dell’apice di una saldatura il campo tensionale tende ad infinito in accordo con quanto previsto analiticamente da Williams [1]. Senza entrare nei dettagli matematici del problema, in base all’approccio di Williams la tensione lungo la superfice, in prossimità del piede del cordone di saldatura di figura 1, può essere espressa dalla seguente relazione ( i coefficienti numerici valgono per un angolo di apertura 2α pari a 135°, per angoli 2α diversi si veda il riferimento bibliografico [2]):
αx = K1 · 0.423 x -0.326 + K2 · 0.553 · x0.302 (1)
In (1) “x” è la distanza dal piede del cordone e K1 e K2 sono i due Notch Stress Intensity Factors (N-SIF) della saldatura [2].
La figura 2 riporta l’andamento della tensionale x lungo la superficie per un angolo di apertura di 135°. Appare evidente che la tensione αx tende ad infinito qualora la distanza x dall’apice diminuisca. La natura asintotica del campo tensionale dato dalla (1), comporta che per le saldature non è possibile applicare il metodo delle tensioni ammissibili direttamente sullo stato tensionale locale poiché, qualunque sia il valore limite di resistenza del materiale, esso verrà inevitabilmente superato.
La presente nota, allo scopo di affrontare il problema della resistenza a fatica dei all’apdettagli strutturali saldati, si sofferma ad illustrare il metodo delle tensioni nominali proposto dall’Eurocodice [3] ed il metodo del gradiente implicito [4,5] capace di affrontare lo studio della resistenza a fatica dei componenti tridimensionali saldati senza apportare alcuna esemplificazione di tipo geometrico.
Previsione della vita a fatica di giunzioni saldate
Il metodo delle tensioni nominali
L’approccio in tensione nominale è il più diffuso e metodologicamente il più semplice da applicare. Questo metodo è basato sul fatto che, in termini relativi, le curve di Woehler dei dettagli strutturali hanno tutte la medesima pendenza e la stessa dispersione.
Tale proprietà era stata messa in luce da Haibach, il quale definì una banda adimensionale di dispersione valida indistintamente per tutti i dettagli saldati. Perciò, dato un giunto saldato, si tratta di stabilire solo la classe di resistenza in termini di tensioni nominali, ossia, il valore di riferimento della tensione nominale, per una vita a fatica di 2·106 cicli. L’Eurocodice 3 riporta una serie di curve di progetto, simili tra loro, riferite a dettagli geometricamente assai diversi.
La posizione della curva di Woehler viene poi corretta in funzione dello spessore delle lamiere giuntate e dell’affidabilità a cui si vuole far riferimento. Tuttavia, l’approccio in tensione nominale non può essere applicato quando il dettaglio strutturale non è tra quelli codificati nelle normative.
In questi casi, o si ricorre a curve di resistenza a fatica determinate sperimentalmente, oppure si devono adottare criteri di valutazione diversi dall’approccio in tensione nominale presenti in letteratura scientifica.
Il metodo del gradiente implicito
Una valida alternativa alla metodologia basata sulle tensioni nominali è la scelta di un criterio capace di soppesare l’effetto locale dello stato di tensione. Indagini sperimentali sulla rottura per fatica dimostrano inequivocabilmente che, l’innesco e la prima propagazione della rottura si gioca nell’immediata prossimità del cordone di saldatura. Infatti, nella figura 1 la cricca per fatica si è innescata proprio al piede del cordone. Per queste ragioni, si può ipotizzare che il comportamento a fatica dipenda proprio dallo stato tensionale prossimo al piede del cordone di saldatura dato dalla (1).
Gli autori hanno proposto negli ultimi anni un nuovo approccio definito come il metodo del gradiente implicito che calcola, su modelli tridimensionali, una tensione efficace αeff di valore finito anche in presenza di spigoli vivi.
Successivamente, per la verifica a fatica, tale valore può essere direttamente posto a confronto con una curva di resistenza indistintamente dal tipo di saldatura. In altre parole, in termini di tensione efficace αeff, le curve di Woehler delle giunzioni saldate ad arco sono tutte congruenti fra loro indipendentemente dalla geometria e dallo spessore del piatto principale [6]. Dal punto di vista della schematizzazione strutturale, il raggio di raccordo di fondo intaglio del piede e della radice del cordone di saldatura vengono posti pari a zero ed il cordone di saldatura è semplicemente schematizzato come un prisma a spigolo vivo. Inoltre, il metodo del gradiente implicito offre il vantaggio di poter utilizzare, per la valutazione dell’affidabilità strutturale, direttamente il valore massimo della tensione efficace valutata per via numerica su tutto il cordone di saldatura senza dover effettuare ulteriori elaborazioni per eliminare la singolarità tensionale. In questo modo si riescono ad affrontare problemi complessi di previsione della vita a fatica senza apportare esemplificazioni geometriche e senza dover rinunciare ad uno schema di materiale a comportamento lineare elastico.
La figura 2 riporta la tensione efficace valutata sulla superficie del dettaglio saldato.
Mentre la tensione σx tende ad infinito al tendere di x a zero, al contrario, la tensione efficace σeff è continua anche all’apice assumendo un valore ben preciso che servirà al progettista per la verifica a fatica. Il valore massimo della tensione efficace σeff,max può essere messo a confronto con la curva di resistenza di figura 3 [4].
un’equazione differenziale di Helmholz nel volume V (per i dettagli si rimanda al riferimento bibliografico [4]):
σeff – c2 2σeff =σeq in V
dove c è una lunghezza legata al tipo di materiale in esame, ∇2 è l’operatore di Laplace e σeq è la tensione ritenuta responsabile del danneggiamento del materiale (in questo lavoro la σeq coincide con la tensione principale massima σ1 valutata con gli elementi finiti nell’ipotesi di materiale a comportamento lineare elastico). Il parametro c è legato in modo univoco alla lunghezza intrinseca a0 di El Haddad et al. [7]; nel caso di tensione efficace ottenuta dalla tensione principale massima il legame fra c ed a0 è di tipo lineare: c = 0.54·a0. Per le saldature in acciaio, sulla base di indagini numeriche condotte su centinaia di dati sperimentali, c è stato calcolato pari a 0.2 mm [3]. L’equazione (2) può essere risolta numericamente utilizzando un software agli elementi finiti in cui la mesh di calcolo può essere esattamente la stessa impiegata per la precedente analisi tensionale.
A titolo di esempio, la figura 4 riporta la geometria di un giunto in acciaio Weldox 700 avente carico di snervamento di 780 MPa e carico di rottura di 800 MPa. Il provino è sollecitato a trazione con un carico affaticante ad ampiezza costante con rapporto di ciclo nominale R=0.1. I risultati sperimentali si possono ritrovare nel riferimento bibliografico [8]. La figura 5 mostra la mesh di calcolo, agli elementi finiti, generata per il calcolo dello stato tensionale in ipotesi di materiale lineare elastico (un ottavo di modello vista la simmetria geometrica e di carico). Ovviamente, al piede del cordone di saldatura le tensioni tenderanno ad infinito ed il valore più elevato della tensione principale massima, dato dall’analisi FEM, dipenderà dalla dimensione degli elementi posti in prossimità del piede del cordone di saldatura come previsto dall’equazione (1).
Con il metodo del gradiente implicito, invece, il valore della tensione efficace αeff è di fatto insensibile alla dimensione della mesh adottata, come evidenziato in figura 6.
Mesh con elementi di 3 mm posti al piede del cordone di saldatura forniscono praticamente gli stessi valori che si otterrebbero con mesh aventi elementi di dimensione minima di alcuni centesimi di millimetro (si noti che lo spessore del piatto principale del modello FEM è di 3 mm). Dal punto di vista pratico ciò è molto importante perché semplifica drasticamente la costruzione del modello FEM in quanto non si vono fissare a priori dei criteri restrittivi per la creazione della mesh.
La figura 7 mostra la tensione efficace che risulta massima al piede del cordone di saldatura. Con tale valore si può entrare direttamente nel diagramma di figura 2 ottenendo direttamente la vita a fatica. Si noti che non è assolutamente necessario sapere a priori il punto in cui innesca il difetto per fatica in quanto è l’analisi FEM del gradiente implicito che indica il punto in cui la tensione efficace risulta massima e quindi sede più probabile d’innesco.
In figura 8 sono riportati i valori sperimentali della resistenza a fatica in termini di tensione efficace massima del giunto di figura 4.
I punti sperimentali si dispongono all’interno della banda di dispersione proposta per le saldature ad arco e ciò convalida ulteriormente il metodo proposto. A questo punto, il progettista potrebbe valutare l’effetto di eventuali varianti geometriche che, a parità di carico applicato, facciano aumentare la vita fatica del componente.
valutata per tutte le geometrie di figura 1 mantenendo invariata la metodologia di calcolo
Conclusioni
L’esame della resistenza a fatica di un giunto saldato con irrigidimento longitudinale sollecitato a trazione ha mostrato che il metodo del gradiente implicito si presta per una rapida valutazione della resistenza a fatica di componenti fortemente intagliati. Il metodo ha una buona correlazione con i dati sperimentali e risolve il problema dell’indipendenza della curva di resistenza dalla geometria.
La rapida convergenza numerica mostrata dal metodo del gradiente implicito e la sua insensibilità alla dimensione della mesh, lo rendono interessante per investigare molteplici soluzioni costruttive direttamente su modelli tridimensionali.
Bibliografia
[1] M.L. Williams, Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. ASME Journal of Applied Mechanics 19, 1952, 526-528.
[2] Lazzarin P., Tovo R (1998). A notch stress intensity factor approach to the stress analysis of welds. Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct., 21, 1089-1104.
[3] Eurocode 3: Design of steel structures; General rules. 1993-1-1.
[4] R. Tovo, P. Livieri. An implicit gradient application to fatigue of sharp notches and weldments. Engineering Fracture Mechanics, 74, 2007, 515-526
[5] Tovo R., Livieri P. An implicit gradient application to fatigue of complex structures, Engineering Fracture Mechanics, 75 (7), 2008, 1804-1814
[6] R. Tovo, P. Livieri, A numerical approach to fatigue assessment of spot weld joints. Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Volume 34, Issue 1, 2011, Pages 32–45
[7] M. H. El Haddad, T.H. Topper, K. N. Smith, Fatigue crack propagation of short cracks. ASME, Journal of engineering Material and Technology 101, 1979, 42-45
[8] P. J. Haagensen 1 , E.S. Statnikov 2 and L. Lopez-Martinez 3, Introductory fatigue tests on welded joints in high strength steel and aluminium improved by various methods including ultrasonic impact treatment (UIT). IIW Doc. XIII-1748-98
