Le condizioni al contorno nelle analisi strutturali: come valutare la loro scelta

La fase cruciale di una simulazione è l’impostazione delle condizioni al contorno (vincoli e carichi): una scelta non ponderata può portare ad ottenere dei risultati che potrebbero non corrispondere con le misure sperimentali che verranno eseguite sul prototipo. Per questo motivo e attraverso due esempi pratici, verranno forniti alcuni suggerimenti sui controlli da effettuare per poter essere certi di aver applicato delle condizioni al contorno coerenti con il comportamento reale del prototipo e per meglio comprendere l’approccio che dovrebbe essere utilizzato
Fig. 1 - Esempio di una trave IPE appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito in cui si vuole calcolare la freccia massima e la sollecitazione. A) L'utente imposta come condizioni al contorno una forza uniformemente distribuita ed un vincolo fisso, che è in genere il vincolo di default proposto dai software di calcolo. B) Il risultato sullo spostamento massimo non coincide con quello che si aspettava l'utente, in quanto il valore è da ritenersi troppo basso, ed inoltre la sollecitazione massima non è localizzata nel punto in cui l'utente riteneva dovesse avere il valore più alto: infatti dovrebbe essere sollecitata di più la mezzeria della trave, mentre il grafico evidenzia i valori più alti sugli appoggi. Per capire il motivo di queste incongruenze basta effettuare due verifiche. C) Verifica 1: l'andamento del taglio è quello che ci si può aspettare in una trave appoggiata, mentre l'andamento del momento evidenza due flessi che non devono essere presenti per una trave appoggiata. D) Verifica 2: le reazioni vincolari evidenziano che sui vincoli si sono generati dei momenti che non dovrebbero esserci in una trave appoggiata. Ciò evidenzia che il vincolo si comporta come un incastro perfetto, e quindi la struttura non si comporta come pensava l’utente, che avrebbe voluto simulare una trave appoggiata.
Fig. 1 - Esempio di una trave IPE appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito in cui si vuole calcolare la freccia massima e la sollecitazione. A) L'utente imposta come condizioni al contorno una forza uniformemente distribuita ed un vincolo fisso, che è in genere il vincolo di default proposto dai software di calcolo. B) Il risultato sullo spostamento massimo non coincide con quello che si aspettava l'utente, in quanto il valore è da ritenersi troppo basso, ed inoltre la sollecitazione massima non è localizzata nel punto in cui l'utente riteneva dovesse avere il valore più alto: infatti dovrebbe essere sollecitata di più la mezzeria della trave, mentre il grafico evidenzia i valori più alti sugli appoggi. Per capire il motivo di queste incongruenze basta effettuare due verifiche. C) Verifica 1: l'andamento del taglio è quello che ci si può aspettare in una trave appoggiata, mentre l'andamento del momento evidenza due flessi che non devono essere presenti per una trave appoggiata. D) Verifica 2: le reazioni vincolari evidenziano che sui vincoli si sono generati dei momenti che non dovrebbero esserci in una trave appoggiata. Ciò evidenzia che il vincolo si comporta come un incastro perfetto, e quindi la struttura non si comporta come pensava l’utente, che avrebbe voluto simulare una trave appoggiata.
Fig. 1 – Esempio di una trave IPE appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito in cui si vuole calcolare la freccia massima e la sollecitazione. A) L’utente imposta come condizioni al contorno una forza uniformemente distribuita ed un vincolo fisso, che è in genere il vincolo di default proposto dai software di calcolo. B) Il risultato sullo spostamento massimo non coincide con quello che si aspettava l’utente, in quanto il valore è da ritenersi troppo basso, ed inoltre la sollecitazione massima non è localizzata nel punto in cui l’utente riteneva dovesse avere il valore più alto: infatti dovrebbe essere sollecitata di più la mezzeria della trave, mentre il grafico evidenzia i valori più alti sugli appoggi. Per capire il motivo di queste incongruenze basta effettuare due verifiche. C) Verifica 1: l’andamento del taglio è quello che ci si può aspettare in una trave appoggiata, mentre l’andamento del momento evidenza due flessi che non devono essere presenti per una trave appoggiata. D) Verifica 2: le reazioni vincolari evidenziano che sui vincoli si sono generati dei momenti che non dovrebbero esserci in una trave appoggiata. Ciò evidenzia che il vincolo si comporta come un incastro perfetto, e quindi la struttura non si comporta come pensava l’utente, che avrebbe voluto simulare una trave appoggiata.

La grande semplicità delle interfacce dei software di simulazione integrati nei CAD e la rapidità con cui vengono svolti i calcoli porta spesso il progettista a dare per scontato che, nel momento in cui si imposta una condizione al contorno, il software abbia implicitamente interpretato in maniera corretta il comportamento che lui vorrebbe dare al modello, e che così otterrà dalla simulazione esattamente i risultati che si aspetta. Nonostante che l’evoluzione delle interfacce dei software di calcolo abbia automatizzato e reso estremamente semplice l’impostazione di un’analisi, il progettista è tenuto a svolgere dei controlli, documentandosi sul funzionamento delle condizioni al contorno utilizzabili nel proprio software in modo per poter effettuare delle scelte consapevoli e coerenti. A differenza dei calcoli manuali, le simulazioni operano su modelli tridimensionali in cui i gradi di libertà dei corpi sono 6, e dove possono esserci più carichi applicati contemporaneamente con diverse direzioni nello spazio. In queste condizioni, anche facendo scelte apparentemente ponderate, non è semplice essere certi a priori di aver eseguito una impostazione corretta del calcolo e quindi si suggerisce di svolgere dei controlli a posteriori valutando attentamente i risultati ottenuti:

–          Se precedentemente è stata fatta una prova di collaudo sulla struttura è possibile capire molto facilmente se le condizioni al contorno che si sono inserite siano corrette confrontando l’entità delle frecce e la deformata con i dati sperimentali

–          Se si sta effettuando una simulazione su un progetto nuovo si suggerisce di raccogliere delle informazioni dai risultati per ottenere delle utili indicazioni sulla correttezza del calcolo: valutare attentamente se la deformata è verosimile, controllare se le reazioni vincolari coincidono col carico totale che si pensa di aver applicato alla struttura sommato al peso proprio, valutare se l’entità delle frecce e la zona dove è localizzato il loro valore massimo sono verosimili, identificare le zone dove le sollecitazioni sono più alte per capire se corrispondono alle zone dove, in base alla propria esperienza di progettazione la struttura è più plausibile che entri in crisi.

–          Se si hanno dei dubbi sul funzionamento di una condizione al contorno (es. un carico o un vincolo), costruire un modello semplificato verificabile con calcoli manuali: eventuali differenze tra i risultati della simulazione e quelli del calcolo manuale indicheranno che sarà senz’altro da rivedere la propria scelta su una delle condizioni applicate.

Fig. 2 - Identificata la causa del problema diventa molto agevole correggerlo. A) E' sufficiente impostare un tipico schema di vincolo per una trave appoggiata ipostatica: sul lato sinistro una cerniera, ovvero un vincolo che blocca soltanto le traslazioni ma lascia libere le rotazioni, mentre sulla destra un vincolo pattino, ovvero che lascia liberi tutti i gradi di libertà tranne lo spostamento nella direzione verticale. B) Gli spostamenti hanno valori in linea con quelli che si aspetta il progettista e il punto dove si ha la sollecitazione massima, è la mezzeria della trave, in linea con le attese. C) L'andamento del taglio e del momento corrisponde esattamente a quello che la teoria delle travi prescrive per una trave isostatica appoggiata. D) Un'ulteriore conferma della corretta impostazione del calcolo e data dal fatto che le uniche reazioni vincolari significative sono due forze verticali corrispondenti ognuna a metà del carico.
Fig. 2 – Identificata la causa del problema diventa molto agevole correggerlo. A) E’ sufficiente impostare un tipico schema di vincolo per una trave appoggiata ipostatica: sul lato sinistro una cerniera, ovvero un vincolo che blocca soltanto le traslazioni ma lascia libere le rotazioni, mentre sulla destra un vincolo pattino, ovvero che lascia liberi tutti i gradi di libertà tranne lo spostamento nella direzione verticale. B) Gli spostamenti hanno valori in linea con quelli che si aspetta il progettista e il punto dove si ha la sollecitazione massima, è la mezzeria della trave, in linea con le attese. C) L’andamento del taglio e del momento corrisponde esattamente a quello che la teoria delle travi prescrive per una trave isostatica appoggiata. D) Un’ulteriore conferma della corretta impostazione del calcolo e data dal fatto che le uniche reazioni vincolari significative sono due forze verticali corrispondenti ognuna a metà del carico.

La figura 1 illustra un esempio pratico di una trave IPE, in cui una scelta sui vincoli fatta istintivamente e non supportata dai riscontri riportati sopra, possa portare ad ottenere dei risultati non corretti. La figura 2 mostra invece come si possano ottenere i risultati attesi modificando opportunamente le condizioni di vincolo.

Un’altra applicazione molto comune del calcolo strutturale è la determinazione della freccia massima di una vasca contenente un liquido (ad esempio una vasca per galvanica, fig. 3). In questo caso è importante conoscere in anticipo il comportamento della struttura per guidare la scelta sugli spessori delle lamiere, le sezioni dei profili di rinforzo che verranno utilizzati, il loro numero ottimale e la loro distribuzione. La difficoltà principale nell’impostare un calcolo di questo tipo è come applicare correttamente il carico per simulare l’azione del fluido sulle pareti. E’ necessario infatti tenere conto che il liquido esercita una azione di tipo idrostatico, con una pressione che cresce linearmente dal pelo libero al fondo della vasca.

In genere i software di calcolo strutturale hanno la possibilità di definire delle pressioni non uniformemente distribuite descrivendole con una equazione polinomiale rispetto ad un sistema di coordinate di riferimento.

Per descrivere la pressione idrostatica è sufficiente quindi costruire nel modello CAD un sistema di coordinate di riferimento con l’origine sul pelo libero, e fare in modo che l’asse y abbia la direzione della gravità (verso il basso) e verso positivo nella direzione in cui si aumenta la pressione (verso il fondo del serbatoio). Il valore di pressione da utilizzare, espresso in unità del SI (cioè N/m2) sarà il prodotto della densità del liquido per l’accelerazione di gravità. Poiché la pressione idrostatica è descritta da una relazione di tipo lineare in cui la pressione aumenta con la quota di altezza della vasca (y), i coefficienti dell’equazione avranno tutti valore zero, tranne C, che sarà pari ad 1.

Fig. 3 - Determinazione della freccia massima di una vasca per galvanica, ipotizzando che la vasca sia piena di acqua e che i carichi agenti siano la pressione del liquido e la pressione atmosferica. Il contributo di quest'ultima è trascurabile, perché sulle pareti laterali si hanno due azioni uguali e contrarie che si elidono a vicenda. Considerando l'equazione che descrive una pressione non uniforme ed un sistema di coordinate posto sul pelo libero, per una distribuzione di pressione di tipo idrostatico, la relazione è lineare e man mano che la quota h aumenta, aumenta anche la pressione, che è proporzionale alla densità del fluido e all’accelerazione di gravità.
Fig. 3 – Determinazione della freccia massima di una vasca per galvanica, ipotizzando che la vasca sia piena di acqua e che i carichi agenti siano la pressione del liquido e la pressione atmosferica. Il contributo di quest’ultima è trascurabile, perché sulle pareti laterali si hanno due azioni uguali e contrarie che si elidono a vicenda. Considerando l’equazione che descrive una pressione non uniforme ed un sistema di coordinate posto sul pelo libero, per una distribuzione di pressione di tipo idrostatico, la relazione è lineare e man mano che la quota h aumenta, aumenta anche la pressione, che è proporzionale alla densità del fluido e all’accelerazione di gravità.

In figura 3 viene mostrata una schematizzazione delle condizioni di carico e dell’equazione che descrive il carico di pressione non uniforme. L’utente quindi deve costruire sul modello CAD un sistema di coordinate in corrispondenza del pelo libero con l’asse y rivolto verso il basso e poi applicare il carico di pressione variabile.

Fig. 4 - A) Modello CAD e sistema di coordinate di riferimento posizionato sul pelo libero con l'asse y rivolto nella direzione in cui incrementa la pressione del liquido. B) Dopo aver applicato la pressione non uniforme il sistema CAD mostra una simbologia che fa intuire che non si tratta di una pressione costante ma di una pressione di tipo idrostatico (infatti, i vettori alla base sono più lunghi di quelli nelle vicinanze del pelo libero). C) Deformata e valori della freccia della vasca a seguito dell'azione del liquido: questa informazione è un dato indispensabile per la progettazione della vasca.
Fig. 4 – A) Modello CAD e sistema di coordinate di riferimento posizionato sul pelo libero con l’asse y rivolto nella direzione in cui incrementa la pressione del liquido. B) Dopo aver applicato la pressione non uniforme il sistema CAD mostra una simbologia che fa intuire che non si tratta di una pressione costante ma di una pressione di tipo idrostatico (infatti, i vettori alla base sono più lunghi di quelli nelle vicinanze del pelo libero). C) Deformata e valori della freccia della vasca a seguito dell’azione del liquido: questa informazione è un dato indispensabile per la progettazione della vasca.

La figura 4 mostra la distribuzione dello spostamento nella vasca e l’andamento della deformata che forniscono già un riscontro positivo che la condizione impostata sia corretta: volendo effettuare una ulteriore verifica si suggerisce di controllare se le reazioni vincolari siano pari alla somma del peso totale del battente di liquido più il peso proprio della struttura.