Il principio di Archimede spiegato con il CAD

La semplicità e l’immediatezza dei sistemi CAD tridimensionali ne hanno incentivato l’utilizzo nella didattica a cominciare dai corsi di disegno, per poi estenderlo agli altri insegnamenti come la fisica, la tecnologia meccanica e perfino la matematica.

Imbarcazione da studiare: l’obiettivo è verificare se galleggerà oppure no, determinare la posizione della linea di galleggiamento, e infine calcolare la portata massima.

*Prof. ing. Stefano Tornincasa, professore ordinario presso il Politecnico di Torino. È stato Presidente dell’Associazione Nazionale Disegno e Metodi (ADM) e coautore di un testo di Disegno Tecnico Industriale adottato nei corsi di disegno della maggior parte delle Università italiane. Le tematiche di ricerca sono focalizzate sull’innovazione del ciclo di sviluppo del prodotto attraverso i modelli digitali e le metodologie di prototipazione virtuale. Oltre all’attività didattica al Politecnico, svolge corsi sulle tolleranze geometriche ISO e GD&T ASME in collaborazione con aziende industriali italiane e straniere.

È possibile rendere semplice e intuitiva la comprensione di uno dei principi fondamentali della Fisica, il principio di Archimede, grazie all’ausilio del software CAD 3D e di alcune relazioni matematiche per studiare il progetto di un’imbarcazione per il quale vengono posti tre quesiti:

  • Galleggerà oppure no?
  • Qual è la posizione della linea di galleggiamento?
  • Qual è la portata massima dell’imbarcazione?

Facendo riferimento al riquadro, che fa una sintesi del principio di Archimede e delle relazioni matematiche su cui si basa, è possibile determinare il volume di fluido spostato dalla relazione:

Vfluido spostato = Mbarca / ρfluido

La massa della barca sarà pari alla massa dei vari componenti che costituiscono la barca, più la massa d’aria presente. È possibile far calcolare al CAD la massa d’aria costruendo il solido che rappresenta il volume occupato dalla massa d’aria ed assegnandogli come materiale l’aria secondo la procedura descritta in Figura 1.

Figura 1. Nel modello CAD dell’imbarcazione viene costruita una patch con una superficie per tappare la parte superiore dell’imbarcazione. Molti sistemi dispongono di una funzione, denominata intersezione, per costruire il solido che occupa il volume vuoto compreso tra una serie di corpi solidi e un corpo di superficie. Una volta creato il solido è possibile assegnare il materiale aria e quindi valutarne la massa, così come valutare la massa dei componenti della barca.

Il software CAD potrà così calcolare la massa totale del modello costituita dall’aria (0,54 Kg) e i componenti della barca (34,74 Kg), che sarà pari a 35,28 Kg. Il volume di fluido spostato sarà quindi pari a:

Vfluido spostato = 35,28 Kg / 1000 Kg/m3 = 0.03528 m3

Per rispondere al primo quesito è necessario rispondere anche al secondo: infatti determinando la posizione della linea di galleggiamento è possibile stabilire se l’imbarcazione galleggerà oppure no: se la linea si troverà al di sotto della sommità dello scafo allora l’imbarcazione galleggerà.

Innanzitutto è necessario ipotizzare una posizione e costruire il solido del volume di fluido spostato secondo la procedura descritta in Figura 2. In questo caso è stata ipotizzata una posizione di 200 mm per la linea di galleggiamento, che corrisponde ad un volume di 0,33412 m3 di fluido spostato. Essendo questo volume maggiore di quello calcolato si può concludere che l’imbarcazione galleggerà.

Figura 2. Si crea un piano che rappresenta la posizione ipotizzata della linea di galleggiamento, posto ad una certa distanza rispetto al piano tangente alla parte inferiore dello scafo. Con una funzione di intersezione è possibile creare un solido che rappresenta il volume del fluido spostato, selezionando i componenti della barca e il piano: in questo caso, selezionando una particolare opzione, il software genera un solido costituito dal volume interno sotteso dal piano, più la porzione solida della barca al di sotto del piano. Calcolando il volume di fluido spostato (0,33412 m3 ) risulta un valore maggiore di quello precedentemente calcolato (0.03528 m3). Da qui si può concludere che l’imbarcazione galleggerà.

Per rispondere al secondo e al terzo quesito è sufficiente sfruttare la “parametricità” del modello: cambiando la quota del piano di galleggiamento il solido del volume di fluido spostato si aggiornerà e se ne potrà calcolare il volume. Effettuando diverse valutazioni del volume per diverse posizioni del piano, sarà possibile creare un grafico del volume spostato in funzione della posizione del piano di galleggiamento (Figura 3). Intercettando sul grafico il valore 0.03528 m3 risulta una posizione della linea di galleggiamento pari a 77 mm quando l’imbarcazione è a vuoto e non trasporta persone o oggetti.

La posizione limite della linea di galleggiamento è di 256 mm, che corrisponde ad un volume di 0.44 m3 di volume fluido spostato. Da qui è facile determinare la massa corrispondente della barca:

Figura 3. Si inseriscono diversi valori per la quota del piano di galleggiamento facendo via via aggiornare il solido del volume di fluido spostato e se ne calcola il volume. Si crea quindi un grafico del volume di fluido spostato in funzione della posizione del piano di galleggiamento. Si suggerisce di non inserire il valore della quota di posizione del piano che vada oltre la sommità dello scafo, perché in quel caso implicherebbe che l’acqua inizierebbe a tracimare nell’imbarcazione. Il software CAD infatti segnala questa condizione con un fallimento della funzione di intersezione, che non riesce più a generare il solido del volume spostato. In questo caso il valore limite è di 256 mm. Intercettando sul grafico il volume del fluido spostato quando l’imbarcazione è a vuoto si può calcolare la posizione della linea di galleggiamento, pari a 77 mm. Allo stesso modo, intercettando la posizione limite del piano, si ottiene un volume di 0,44 m3 da cui si può calcolare con la relazione (1) la massa totale della barca, e quindi la portata massima.

Mbarca = Vfluido spostato * ρfluido

Mbarca = 0,44 m3 * 1000 Kg/m3 = 440 Kg

La portata massima della barca si otterrà sottraendo la massa a vuoto della barca:

Portata massima = 440 Kg – 35,28 Kg = 404,72 Kg

 

 

 

 

 

 

 

IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Il Principio di Archimede afferma che “un corpo immerso in un fluido (in parte o completamente) riceverà una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato”. Tale concetto può essere meglio compreso prendendo in considerazione il diagramma di corpo libero mostrato in figura 2 e ricordando la terza legge di Newton:

Fspinta = Fbarca

Se Fspinta < Fbarca la barca affonderà

Se Fspinta > Fbarca la barca subirà una forza di spinta verso l’alto, fino a raggiungere una posizione di equilibrio in cui Fspinta = Fbarca

Esplicitando la relazione:

Mbarca * g = ρfluido * Vfluido spostato * g

Mbarca = ρfluido * Vfluido spostato (1)

Dove Mbarca è la massa della barca, g è l’accelerazione di gravità, ρfluido è la densità del fluido, Vfluido spostato è il volume del fluido spostato.

La relazione (1) permette di comprendere il perché un oggetto galleggi più facilmente in acqua salata piuttosto che in acqua dolce: si consideri l’oggetto in sughero di figura 2: la massa dell’oggetto è identica, ma è diversa la densità dei due fluidi. Nel caso dell’acqua salata poiché la densità è maggiore, affinché si mantenga l’uguaglianza (1) dovrà diminuire il volume del fluido spostato, quindi la linea di galleggiamento sarà più bassa.

 

 

PER SAPERNE DI PIÙ

Puoi leggere articoli come questo su tutti i numeri della nostra rivista, all’interno della sezione Trucchi & Segreti. Trovi tutti i numeri qui. Sfoglia gratuitamente le prime venti pagine. Per leggere il resto devi abbonarti. La versione digitale costa 40 euro all’anno (10 numeri), mentre quella cartacea costa 50 euro.

Preferisci acquistare un numero singolo da sfogliare su tablet o smartphone? Puoi scaricare gratuitamente l’App per dispositivi Apple o l’App per dispositivi Android. Pagherai solo 3,99 euro per ogni numero che deciderai di leggere.